La asignación de los Grupos de la Clase de Perforado Superficies (y tal vez de Billar)

Question

Donde puedo encontrar una descripción concreta de la clase de asignación de grupo de las superficies? Sé la clase de asignación de grupo de el toro es $SL(2, \mathbb{Z})$. Tal vez, no es una simple descripción de la esfera, con pinchazos o el toro con los pinchazos. También, agradecería cualquier referencia bibliográfica para un arbitraria de la superficie de género g con n los pinchazos.

La asignación de los grupos de la clase surgen en mi lectura sobre el billar y la geodésica de flujo sobre superficies planas. Me pregunto: el espacio de moduli de estructuras complejas en el torus es$\mathbb{H}/SL(2, \mathbb{Z})$, ¿es una coincidencia que la asignación de la clase de grupo que aparece aquí?

Answer 1

Aquí está una arcticle de Luo,

Una Presentación de la Asignación de los Grupos de la Clase

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9801/9801025v1.pdf

Recuerdo visto en algún lugar una cuidada presentación de la hyperelliptic asignación de grupo de clase, pero no puedo recordar ahora la referencia, pero puedes consultar la página 12 en el artículo

Hyperelliptic Szpiro la desigualdad

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0106/0106212v1.pdf

Answer 2

El siguiente puede o no puede ser visto como una "descripción concreta." Vamos a pi ser el grupo fundamental de su perfora la superficie. (Advertencia: esto está escrito desde la memoria a fin de consultar con una fuente de autoridad). Entonces pi es un grupo libre, dotado de un conjunto S de n distinguido conjugacy clases, a saber, las clases conjugacy de bucles alrededor de los pinchazos. Ahora la asignación de la clase de grupo actúa sobre la pi ... bueno, para ser más precisos, desde un diffeomorphism de la superficie podría mover el punto de base de todo, usted tiene un homomorphism

la asignación de grupo de clase -- > (pi)

Pero no se trata de cualquier exterior de automorfismos de pi; preservar este conjunto S (aunque por supuesto se puede permutar los elementos individuales de S.) Escribir^+_S(pi) para el grupo de exterior automorfismos de pi que preservar S, y cuya acción en la homología tiene determinante positivo. A continuación, tenemos un mapa

la asignación de grupo de clase -- > ^+_S(pi)

y-aquí viene lo "concreto" descripción -- este homomorphism es un isomorfismo.

Cuando (g,n) = (1,0) esto es sólo decir que la asignación de la clase de grupo es SL_2(Z), como usted dice.

Answer 3

1) permítanme comenzar por tratar con los pinchazos y más género asignación de los grupos de la clase.

Aparte de un par de bajos de género de los casos, no es fácil descripción de la asignación del grupo de clase. Como usted dijo, la clase de asignación de grupo de un toro es $SL_2(\mathbb{Z})$, y la adición de una punción a un toro no cambiar su asignación de grupo de clase (la adición de un límite de componente, sin embargo, lo convierte en el 3-strand braid grupo).

En general (es decir, $(g,n)$ no es igual a los degenerados de los casos de $(1,1)$ o $(0,k)$ $k$ en la mayoría de las $3$), se puede relacionar la asignación de grupo de clase $\Gamma(g,n)$ de género $g$ de la superficie con $n \geq 1$ punciones para la asignación del grupo de clase de una superficie con menos pinchazos a través de la Birman secuencia exacta. Dos formas de la misma:

$$1 \longrightarrow \pi_1(S_{g,n-1}) \longrightarrow \Gamma(g,n) \longrightarrow \Gamma(g,n-1) \longrightarrow 1$$

y

$$1 \longrightarrow B(g,n) \longrightarrow \Gamma(g,n) \longrightarrow \Gamma(g,0) \longrightarrow 1$$

Aquí $B(g,n)$ $n$- strand braid grupo en un género $g$ de la superficie. El mapa para el cokernel viene de "olvidar" los pinchazos, y el kernel que viene de "arrastrar" los pinchazos alrededor de la superficie.

Una buena referencia para este tipo de material es el libro "Una introducción sobre la asignación de los grupos de la clase" por Farb y Margalit, que está disponible aquí.

2) en la Medida del espacio de moduli, el espacio de moduli de estructuras complejas en un género $g$ de la superficie con $n$ pinchazos (mientras $g$ $n$ no son demasiado pequeños) es isomorfo al cociente de Teichmuller el espacio de la asignación de grupo de clase. Por lo tanto no es casualidad que la asignación de la clase de grupo que aparece en la descripción del espacio de moduli. De nuevo, Farb y Margalit, el libro es una buena fuente.