¿Puede un conjunto de vectores ser linealmente independiente en un espacio vectorial, pero ser linealmente dependiente en otro espacio vectorial?

Question

Por ejemplo,

sea S = {$(x_1, x_1)| x_1 \in \mathbb R$} un subespacio de $\mathbb R^2$.

Por definición, dim(S) = 1 y dim($\mathbb R^2$) = 2.

Entonces el conjunto {(1, 1)} sólo tiene un vector, por lo que es linealmente independiente en S, pero es linealmente dependiente en $\mathbb R^2$?

Sé que esto no tiene ningún sentido, pero hemos aprendido en clase que un conjunto de vectores que sólo puede ser linealmente independientes si se extiende el espacio vectorial que se encuentra.

Desde (1,1) es en tanto el S y $\mathbb R^2$, pero el conjunto {(1, 1)} sólo abarca S, ¿cómo es que no sólo es linealmente independiente en S y linealmente dependiente en $\mathbb R^2$ (ya que {(1,1)} no abarca $\mathbb R^2$).

Lo siento por esta pregunta tan estúpida

Answer 1

Usted dijo que "aprendió en la clase que un conjunto de vectores que sólo puede ser linealmente independientes si se extiende el espacio vectorial que tiene". Esto no es correcto, a menos que "el espacio vectorial de que está en" que significa "la más pequeña de espacio vectorial que es," que no sería un típico comprensión del lector. Pero incluso con esa comprensión, en la declaración no es útil, porque el hecho no es especial para conjuntos linealmente independientes. Cada conjunto de vectores que se extiende por el más pequeño espacio vectorial que contiene: un conjunto de vectores que abarca su extensión. (Que es prácticamente la definición de span.)

Sospecho que lo que se supone que para aprender en clase fue que "Un conjunto de vectores en un espacio vectorial $V$ sólo puede ser una base para $V$ si el conjunto se extiende $V$." (Además, debe ser un conjunto linealmente independiente de vectores.)

En particular, el conjunto de $\{(1,1)\}$ es un conjunto linealmente independiente, si se considera como un conjunto de vectores en $\mathbb R^2$ o como un conjunto de vectores en lo que se llama $S$. El hecho de que $\{(1,1)\}$ no abarca $\mathbb R^2$ no te dice nada acerca de la independencia lineal del conjunto. (Y por cierto, cualquier conjunto que contenga sólo un vector es un conjunto linealmente independiente de vectores en tanto que un vector no es cero.)

Answer 2

Supongamos $\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ es una base de $V$. Entonces $$ \{v_2,\dots,v_n\} $$ no span $V$, pero es linealmente independiente.

Un conjunto de vectores puede no abarcar $V$, pero todavía puede ser linealmente independientes.

El único caso cuando se puede inferir dependencia lineal en el hecho de que un conjunto no abarcan $V$ es cuando el conjunto tiene el mismo número de elementos como la dimensión de la $V$.

En el caso de que esta condición no se cumple, debido a que $\{(1,1)\}$ consiste de un elemento, pero la dimensión de la $\mathbb{R}^2$ es de dos.

Answer 3

Creo que es seguro decir que si un conjunto de vectores es linealmente independiente en un espacio, entonces será en cualquier espacio que lo contiene.

Esto parece claro para cualquier superspace, $W\supset V$...

También, cuando en un espacio diferente contiene nuestro espacio... Por ejemplo, los espacios de $V=x$-eje, $W=xy$-plano y $U=xz$-plano. Simplemente obtenemos que $\{(1,0)\}$ es linealmente independiente en (realidad) de los tres espacios.

La razón es que la definición de condición, a saber, que sólo el trivial combinación lineal es cero, es independiente del espacio circundante...

Uno podría decir, por ejemplo, que un conjunto es linealmente independiente $\iff$ es una base para el espacio que se extiende. De nuevo, observe que no hay ninguna mención de cualquier (más grande) que rodean el espacio.

Como se ha señalado por @egreg, si hay $n$ vectores, y si $\operatorname{dim} V=n$, entonces es cierto (que el conjunto es linealmente independiente iff se extiende $V$).

A la luz de @Daniel Schepler comentarios, debemos tener en cuenta que al cambiar el campo base, o el espacio vectorial "estructura", podemos obtener algunos resultados diferentes. Esto demuestra tu pregunta puede ser un poco mejor de lo que pensaba (aunque fue un error que lo llevó a él)...

Answer 4

Como egreg explicó, su ejemplo es malo.

Supongamos $V$ e $W$ son ambos subespacios de un espacio vectorial $X$. Entonces cualquier conjunto de vectores $\{v_1, \ldots, v_k\}$ en la intersección $V \cap W$ que es linealmente dependiente como un subconjunto del espacio vectorial $V$ también es linealmente dependiente como un subconjunto de a$W$. Esto es debido a que tanto la dependencia lineal declaraciones son equivalentes a la existencia de escalares $c_1, \ldots, c_k$, no todos los $0$, de tal manera que $c_1 v_1 + \ldots + c_k v_k = 0$.

Answer 5

En primer lugar, la definición de

... que un conjunto de vectores que sólo puede ser linealmente independientes si se extiende el espacio vectorial que se encuentra.

no es correcta.

Un conjunto $S$ de vectores es linealmente dependiente si hay algo de $v \in S$ que se puede escribir como una combinación lineal de otros vectores de $S$. Es linealmente independiente de otra manera.

Más formalmente, un conjunto de vectores $S = \{v_1,\ldots,v_k\}$ es linealmente independiente si $$\sum_{i=1}^{k}\alpha_iv_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha_1= \cdots = \alpha_k=0$$ Es decir, la única manera de que podamos hacer el cero a partir de los vectores en $S$ está multiplicando cada vector por cero.

Es fácil ver que si quitamos los vectores de la linealmente independientes $S$, se queda linealmente independientes. Por el contrario, si queremos añadir un vector de a $S$, puede llegar a ser dependiente. La máxima cardinalidad (número de elementos) de un conjunto linealmente independiente de vectores en un $n$-dimensiones de los vectores del espacio de $V$ es $n$ e este conjunto se llama una base para $V$. Tiene la propiedad de que abarca toda la $V$, que es - todos los $v \in V$ puede ser representado como una combinación lineal de los vectores de la base.

Tenga en cuenta que la cardinalidad de un conjunto de vectores no nos dice nada preciso acerca de sus lineal (en)la dependencia.

ejemplo 1: $\{(1,1),(2,2)\}$ es linealmente dependiente en $\mathbb{R}^2$ porque $2 \cdot (1,1) = (2,2)$.
ejemplo 2: $\{(1,1)\}$ es linealmente independiente en $\mathbb{R}^2$ pero no una base para $\mathbb{R}^2$ porque $|S| = 1 \neq 2 = dim \mathbb{R}^2$..
ejemplo 3: $\{(1,1),(2,3)\}$ es linealmente independiente en $\mathbb{R}^2$ y también una base para $\mathbb{R}^2$ porque $|S| = 2 = dim \mathbb{R}^2$.
ejemplo 4: $\{(1,1),(2,3),v\}$ debe ser linealmente dependiente en $\mathbb{R}^2$, para cualquier $v \in \mathbb{R}^2$.
ejemplo 5: $\{(1,1)\}$ es linealmente independiente en su espacio de $S := \{(x_1,x_1)| x_1 \in \mathbb{R}\}$ y un fundamento para ello.