Una propiedad sobre proyecciones ortogonales.

Question

Deje que$H$ sea un espacio de Hilbert y$P_1,P_2$ proyecciones ortogonales en los espacios cerrados$M_1$ y$M_2$.

Permita que$\langle P_1x,x\rangle$$\leq$$\langle P_2x,x\rangle$ para todos$x\in H$. Muestra esa $P_1P_2=P_2P_1=P_1$

No puedo obtener una conexión entre el supuesto y la declaración que quiero mostrar.

Mi idea es mostrar que$\langle P_1P_2x,x\rangle=\langle P_2P_1x,x\rangle$ lo que mostraría que$P_1P_2=P_2P_1$

Answer 1

Cuando$P$ es ortogonal,$\langle Px,x\rangle=\langle Px,Px\rangle=||Px||^2$. Con su hipótesis, esto da que$\ker(P_2)\subseteq\ker(P_1)$, por lo tanto,$M_1\subseteq M_2$. A partir de esto, la conclusión sigue inmediatamente.