Los puntos límite de un intervalo abierto (conjunto abierto)

Question

No estoy seguro de entender por qué para el conjunto abierto $(a,b)$ los puntos límite son $[a,b]$ . ¿Por qué $a,b$ ¿se incluyen ahora como puntos límite? ¿Es porque de alguna manera podemos encontrar una secuencia en el intervalo abierto que converja a estos puntos?

Answer 1

En efecto puede encontrar secuencias que converjan a esos puntos.

Sea $d = b-a$ y $\epsilon_n = \frac{d}{n}$ . Para cada $n \in \mathbb{N}$ elija un punto $x_n \in (a, a+\epsilon_n)$ . Ahora afirmamos que la secuencia $\{x_n\}$ converge a $a$ .

Sea $\epsilon > 0$ entonces por construcción tenemos

$$|x_n - a| < \epsilon_n = \frac{d}{n}$$

Así, podemos dejar que $N\in \mathbb{N}$ con $N > \frac{d}{\epsilon}$ de modo que para todos $n \ge N$ tenemos

$$|x_n - a| < \epsilon_n = \frac{d}{n} < \epsilon$$

lo que significa que $\lim x_n = a$ . Así $a$ es un punto límite de $(a,b)$ y mediante un planteamiento similar (que les dejaré a ustedes), es posible demostrar que $b$ también es un punto límite.

$\boxtimes$

Así que lo que realmente hemos hecho aquí es mirar intervalos cada vez más pequeños contenidos en $(a,b)$ que están cerca de $a$ y elegir puntos de cada uno de estos intervalos. Estos puntos forman nuestra sucesión y el límite de esta sucesión es $a$ . Si necesitas ayuda para construir una secuencia que converja a $b$ piensa en los intervalos en los que tendrías que elegir los puntos.

Answer 2

Así que según tu definición de puntos límite, parece que los puntos en $\overline{A}$ Si es así, sí, porque los puntos $x_{n}=a+\dfrac{b-a}{2n}$ , $n=1,2,...$ pertenecen a $(a,b)$ y son tales que $x_{n}\rightarrow a$ .

Answer 3

$a$ es un punto límite

Secuencia $x_n=a+\frac{1}{n} \in (a,b)\forall n \in \mathbb N(\because$ consecuencia de propiedad arquimediana ). Sabemos que $x_n \to a$ como $n \to \infty$ . Por lo tanto $a$ es el punto límite de $(a,b)$ . ( $\because$ $x\in \mathbb{R}$ es un punto límite de $A$ si existe una secuencia de puntos $\{x_{n}\}\subset A$ que son diferentes de $x$ y converge a $x$ ). Argumento similar para $b$ .

Answer 4

También podemos intentar encontrar el cierre $C$ de $(a,b)$ . Por definición $C$ es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen $(a,b)$ y $C$ contendrá todos los puntos límite de $(a,b)$ . Los conjuntos cerrados que contienen $(a,b)$ son de las dos formas siguientes $$A=(-\infty,d]\cup[a,+\infty)\space\space(a>d)$$ y $$B=(-\infty,b]\cup[c,+\infty)\space\space(b<c)$$ así que $$C=[a,b]$$ Por otra parte, por definición $C$ es la unión de $(a,b)$ y el conjunto derivado $D$ de $(a,b)$ que es el conjunto de todos los puntos límite de $(a,b)$ . Pero $a,b\notin(a,b)$ deben proceder de $D$ . Así que $a,b$ son puntos límite.

Answer 5

Supongamos un intervalo abierto $(c, d)$ de forma que sólo contenga $a$ podemos comprobar que es abierta en topología euclidiana (Topología sin lágrimas, definición 2.1.1), $(c, d)$ no tiene intersección con $(a, b)$ así que.., $a$ no es un punto límite de $(a, b)$ . Tal vez me equivoque.