¿Podemos construir categorías sin límites?

Question

Si tratamos $Set$ $0$- categoría, a continuación, $1$- categoría es la clase universal (el de la clase que contiene a todos los conjuntos), $2$-categoría es la colección que contiene todas las clases. Y así sucesivamente... Y tengo tres preguntas:

1. De esta manera, podemos construir una infinidad de categorías que para cada categoría definida, siempre podemos construir un más alto nivel de la categoría que contiene todos los objetos de todos los anteriores (como el anterior nivel de la clase universal es $Set$) (me.e.no hay mayor colección que contiene todas las categorías)?

2. Podemos extender esta construcción a $α$-categoría a("$α$" es arbitraria número ordinal)? Si no, ¿por qué?

3. ¿Alguien puede recomendar algún libro que habla sobre mi pregunta de forma explícita?

Answer 1

A la luz de esta pregunta, tu otra pregunta que me acaba de responder mucho más sentido.

• (1. Y 2.) Sí, podemos. Bajo la suave suposición de que hay una clase adecuada de Grothendieck universos, el siguiente se tiene: Tomar cualquier conjunto $x$. Entonces hay una Grothendieck universo $U_{0}$ tal que $x \in U_{0}$. Ahora podemos formar una clase de tamaño de la categoría $C_{0}$ dentro $U_{0}$. (La razón por la que queremos ser capaces de poner $x$ $U_{0}$ es que en las típicas aplicaciones que queremos construir $C_{0}$ $x$ o al menos tener ese $x$ es un objeto de $C_{0}$.) En particular, teniendo en $x = U_{0}$, hay un Grothendieck universo $U_{1}$ tal que $U_{0} \in U_{1}$. Ahora, en $U_{1}$, $C_{0}$ es una categoría de pequeña y que lo podemos utilizar para construir otra clase de tamaño de la categoría $C_{1}$$U_{1}$. Este proceso puede ser seguido muchas veces, y en poco más fuerte que el de los supuestos - incluso de la clase que muchas veces", pero el último rara vez parece ser de su interés.

• (3.) Seguro. Le sugiero que eche un vistazo a Shulman la teoría de conjuntos para la categoría de teoría. Está escrito por un no-set-teórico y, por tanto, legible, sin demasiado conocimiento sobre el conjunto teórico detalles. Por desgracia, contiene algunos errores. Dos de ellos son los que el autor asume que cada modelo de $\operatorname{ZFC}$ está bien fundada y por lo tanto isomorfo a un transitiva a través de la Mostowksi colapso. Esto no es cierto, pero no hay daño hecho por considerar fundados los modelos en esta configuración. Otro error (que está relacionado con el primero) es que el autor afirma la existencia de un modelo de $\operatorname{ZFC}$ implica la existencia de un modelo transitivo de $\operatorname{ZFC}$. Este es demostrablemente falsa, pero de nuevo, usted puede simplemente asumir que transitiva modelos existen en nuestro fondo universo. Aparte de que hace un buen trabajo de explicar algunos fundamentos teóricos de la categoría de la teoría de una manera que debería ser accesible a personas que no han estudiado axiomático fundaciones como $\operatorname{ZFC}$ antes.

Answer 2

Pista: mirar en la teoría de conjuntos de Grothendieck .