Cálculo del máximo de una función

Question

Quiero determinar el valor de una constante $a > 0$ que provoca el mayor valor posible de $f(x) = ax(1-x-a)$ .

He intentado derivar la función para encontrar una relación entre $x$ y $a$ cuando $f'(x) = 0$ y encontró $x = \frac{1-a}{2}$ .

A continuación, la inserto en la función original: $f(a) = \frac{3a - 6a^2 - 5a^3}{8}$

Lo derivé a $f'(a) = \frac{-15a^2 + 12a - 3}{8}$

Pensé que derivar la función e igualarla a $0$ llevaría a encontrar un máximo, pero no lo encuentro. No puedo ir más allá de $-15a^2 + 12a = 3$ .

¿En qué me equivoco?

Answer 1

El primer problema es que has sustituido $x=\frac12(1-a)$ en $f(x)$ incorrectamente; el segundo (y más importante) problema es que hay que definir una nueva función cuya variable independiente sea $a$ . En concreto $g(a)$ sea el máximo alcanzado por la función $f(x)=ax(1-x-a)$ ; desea encontrar el valor de $a$ que maximiza $g(a)$ . Sustituyendo $x=\frac12(1-a)$ en $f(x)$ encontramos que

$$\begin{align*} g(a)&=a\left(\frac{1-a}2\right)\left(1-\frac{1-a}2-a\right)\\ &=\frac{a}4(1-a)\big(2-(1-a)-2a\big)\\ &=\frac{a}4(1-a)(1-a)\\ &=\frac14\left(a-2a^2+a^3\right)\;. \end{align*}$$

Ahora $g'(a)=\frac14\left(1-4a+3a^2\right)$ . Si se iguala a $0$ tenemos $3a^2-4a+1=0$ . Para resolver $a$ puedes utilizar la fórmula cuadrática o darte cuenta de que $3a^2-4a+1=(3a-1)(a-1)$ ; de cualquier manera, se encuentra que $g'(a)=0$ para $a=1$ y $a=\frac13$ . Analizando el signo de $g'(a)$ o utilizando la prueba de la segunda derivada se puede comprobar que $g(a)$ tiene un máximo local (de $\frac1{27}$ ) en $a=\frac13$ y un mínimo local (de $0$ ) en $a=1$ .

Sin embargo una comprobación rápida del gráfico de $g(a)$ le mostrará que aumenta sin límite a medida que $a\to\infty$ y esto también está claro algebraicamente: como $a\to\infty$ , $1-a\to-\infty$ Así que $\frac14a(1-a)^2\to\infty$ . Así, podrá sacar el máximo partido de $f(x)$ tan grande como desee eligiendo $a$ lo suficientemente grande.

Answer 2

El valor máximo de la función, que se produce en $x = \frac{1-a}{2}$ es: $$\begin{align}f\big(\frac{1-a}{2}\big) & = a\big(\frac{1-a}{2}\big)(1-\frac{1-a}{2}-a)\\ &= a\big(\frac{1-a}{2}\big)\bigl(\frac{1-a}{2}\bigr)\\ &= a\big(\frac{1-a}{2}\big)^2. \end{align}$$

En $a \rightarrow \infty$ Esto crece sin límites.

Answer 3

Antes de empezar a diferenciar, pensemos en $f(x)$ un poco. Deja que $x=-100$ y que $a=102$ . Entonces $f$ es grande. Se puede hacer arbitrariamente grande eligiendo positivo $a$ adecuadamente.

Si se quiere que exista un máximo, hay que modificar el problema. Por ejemplo, en lugar de $a\gt 0$ podría especificar que $0\lt a\lt 1$ o, lo que es lo mismo, que el máximo se produce en un valor positivo de $x$ .

Answer 4

Una vez insertado $x = \dfrac{1-a}{2}$ ya no se puede diferenciar puesto que $a$ es una constante y diferenciando $f(a)$ conducirá a $0$ . En el mejor de los casos, puede averiguar $f'(x)$ y sustituir el valor de x en términos de a para volver a verificar que es 0 (pero entonces, así es como obtuviste $x = \dfrac{1-a}{2}$ para empezar)

Answer 5

Podemos recurrir a un poco de álgebra junto con el cálculo que estás utilizando, para ver qué ocurre con esta función:

$$f(x)=ax(1−x−a)=-ax^2+(a-a^2)x$$

Nótese que se trata de una parábola. Dado que el coeficiente de la $x^2$ es negativo, se abre hacia abajo para que el valor máximo esté en el vértice. Como ya has resuelto, el vértice tiene coordenada x $x=\frac{1−a}{2}$ . Además, Théophile demostró que la coordenada y del vértice es $f(\frac{1−a}{2})=a(\frac{1−a}{2})^2$ que es ilimitado ya que $a$ aumenta.