Demostrar que el espacio vectorial de las funciones reales no tiene un espacio finito

Question

Esto es lo que se me ha ocurrido. Que $\mathcal B$ sea un conjunto generador de $\mathcal F(R)$ . Supongamos que $\mathcal B$ es un conjunto finito, por lo tanto: $\lt \mathcal B \gt = \lt \{b_1, ..., b_n \}\gt, n \in N$ . Dejemos que $\mathcal f \in F(R).$ Así: $\mathcal f = \alpha_1 b_1 + ... + \alpha_nb_n,$ donde $ \alpha_1,..., \alpha_n \in R$ no son todos ceros.

Si $\mathcal F(R)$ es un espacio vectorial, por lo que puede existir una función $\mathcal g \in F(R)$ como $\mathcal g \neq \lambda f, \lambda \in R$ . Así, $\mathcal f+g \in F(R)$ pero $\mathcal f+g \neq \alpha_1 b_1 + ... + \alpha_nb_n$ . Si es $\mathcal g$ es pertenecer a $ \lt \mathcal B \gt$ debemos añadir un nuevo vector a $\mathcal B$ .

Repitiendo el procedimiento anterior, podemos encontrar una función $\mathcal g\in F(R)$ como $\mathcal h \neq \mathcal\lambda g$ . Así, podemos encontrar infinitas funciones y, por tanto, necesitamos infinitos vectores base.

¿Esta prueba es correcta?

Answer 1

Creo que entiendo el espíritu de tu prueba, pero no parece rigurosa.

Lo que intentas demostrar es equivalente a decir que $\mathcal{F}(R)$ es un espacio vectorial de dimensión infinita (si $\mathcal{F}(R)$ fueran de dimensión finita, cualquier base sería un conjunto de extensión finita). Por lo tanto, si pudiéramos mostrar una colección infinita de vectores linealmente independientes, habríamos terminado.

¿Puede demostrar que el conjunto $\{1, x, x^2, \dots \}$ es linealmente independiente?

Answer 2

Aquí hay una prueba bastante tonta:

Dejemos que $S$ sea cualquier conjunto infinito, y sea $F(S, \mathbb{R})$ sea el $\mathbb{R}$ -espacio vectorial de funciones $S \to \mathbb{R}$ . Además, dejemos que $\mathbb{R}_d [x]$ denotan el $\mathbb{R}$ -espacio vectorial de polinomios en $x$ de grado $\le d$ .

Supongamos que $f_1, \cdots, f_n \in F(S, \mathbb{R})$ es una base finita.

Elige algunos $f \in F(S, \mathbb{R})$ que toma infinitos valores. Para cada polinomio $p \in \mathbb{R}_d [x]$ podemos escribir $p(f)$ de forma única en la forma $\sum_{i=1}^{n} a_i f_i$ para algunos escalares reales $a_i$ . Por lo tanto, obtenemos un mapa lineal $\mathbb{R}_d [x] \to \mathbb{R}^n$ dado por $$p \mapsto (a_1, \cdots, a_n).$$ De hecho, este mapa es inyectivo, ya que $p(f) = 0$ implica $p = 0$ dado como un polinomio puede tener sólo un número finito de raíces.

Así, $\dim(\mathbb{R}_d [x]) \le n$ para todos $d$ tomando $d\to\infty$ da una contradicción.