¿Cómo puedo aproximar$\sum\limits_{k=4}^{\infty}\Pr(X=k)[{\Pr(X\le k)}^6 - {\Pr(X\le k-4)}^6]$ para$\lambda \to +\infty$?

Question

$X$ es una variable aleatoria de Poisson y la función de masa de probabilidad viene dada por:$$\Pr(X = k) = e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^k}{k!}$ $

Tengo una función de probabilidad$f(\lambda)$$$f(\lambda) = \sum\limits_{k=4}^{\infty}\Pr(X=k)[{\Pr(X\le k)}^6 - {\Pr(X\le k-4)}^6]$ $

Hasta la fecha, solo encuentro que${\Pr(X\le k)}^6 - {\Pr(X\le k-4)}^6$ puede ser factorizado como \begin{align*} &{\Pr(X\le k)}^6 - {\Pr(X\le k-4)}^6 \\&= [\Pr(X=k)+ \Pr(X=k-1) + \Pr(X=k-2) + \Pr(X=k-3)]\cdot[ {\Pr(X\le k)}^5+{\Pr(X\le k)}^4{\Pr(X\le k-4)}+…+ {\Pr(X\le k-4)}^5] \end {align *} Pero no tengo idea de qué hacer a continuación ... ¿Puedo asumir que$\Pr(X=k) \approx \Pr(X=k-1)$ si$\lambda \to +\infty$ ? ¿Hay alguna aproximación mejor para$f(\lambda)$?

Si hay una expresión simple para$ f(\lambda) $ sobre$\lambda \to +\infty$ sería la mejor, pero estoy abierto a cualquier cosa que pueda sugerir. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Por definición, $\sum\limits_kP(X=k)u(k)=E(u(X))$ por cada delimitada la función $u$, por lo tanto, considerando una distribución de Poisson $\lambda$ variable aleatoria $Y$ independiente de $X$, se obtiene $$ f(\lambda)=P(X\leqslant Y;Y\geqslant4)^6-P(X\leqslant Y-4)^6=(u(\lambda)-v(\lambda))^6-(u(\lambda)-w(\lambda))^6, $$ con $$ u(\lambda)=P(X\leqslant Y),\quad v(\lambda)=P(X\leqslant Y\leqslant3),\quad w(\lambda)=P(Y-3\leqslant X\leqslant Y). $$ Desde $Z_\lambda=(Y-X)/\sqrt{2\lambda}$ es aproximadamente normal estándar y $$ u(\lambda)=P(Z_\lambda\geqslant0),\qquad w(\lambda)=P(0\leqslant Z_\lambda\leqslant3/\sqrt{2\lambda}), $$ uno ve que $u(\lambda)\to\frac12$$w(\lambda)\to0$. Asimismo, $v(\lambda)\leqslant P(Y\leqslant3)\to0$ por lo tanto $$ f(\lambda)=6\cdot\left(\tfrac12\right)^5(w(\lambda)-v(\lambda))+o(w(\lambda)+v(\lambda)). $$ Ahora, $v(\lambda)\ll1/\sqrt\lambda$ y, si $(Z_\lambda)$ satisface un local teorema del límite central, el entero del intervalo de $[0,3]$ tienen una longitud de $4$, lo $w(\lambda)\sim4/\sqrt{2\lambda}\cdot1/\sqrt{2\pi}$, por lo tanto $$ f(\lambda)\sim6\cdot\left(\tfrac12\right)^5\cdot\frac2{\sqrt{\pi\lambda}}=\frac3{8\sqrt{\pi\lambda}}. $$ Este resultado está condicionado a la (plausible) la afirmación de que, para todos los fijos entero $k$, cuando se $\lambda\to\infty$, $$ P(Y-X=k)\sim\frac1{\sqrt{2\lambda}}\cdot\frac1{\sqrt{2\pi}}. $$ Afortunadamente, asymptotics de funciones de Bessel de primera especie indican que, para cada $k\geqslant0$, $$ P(Y-X=k)=\sum_{n\geqslant0}\mathrm e^{-2\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\frac{\lambda^{n+k}}{(n+k)!}=\mathrm e^{-2\lambda}\mathrm i^{-k}J_k(2\mathrm i\lambda)\sim\frac1{2\sqrt{\pi\lambda}}. $$ Por lo tanto, la heurística anterior titular, y el resultado queda demostrado.