Usted clavado en el espacio (b). Así que voy a hablar del espacio (una), que vamos a denotar por $A$.
El espacio (a) está conectado, arcwise conectado y semi-localmente simplemente conectado. Por lo tanto, tiene una cobertura universal. Es natural intentar averiguar que la universalización de la cobertura. Con algunas ideas, tenemos que la cobertura universal es el "Feliz Perlas" (por la falta de una buena no-pornográfico palabra) que se describen a continuación:
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donde el mapa de proyección es bastante obvio. Ahora lo que sigue es simplemente una mera adaptación de la prueba de que $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$, que resumimos a continuación:
Fijar un punto de $y$ en la cobertura universal y considerar el mapa de $HB: \pi_1(A, x_0) \rightarrow \mathbb{Z}$ donde $x_0$ es el punto más alto de la esfera (que tiene un segmento que va abajo), el cual toma una clase de $[f]$ y la envía a $n$ donde $n$ es el número de esferas (se cuenta con la "dirección") entre el punto inicial de la elevación de $f$ ($y$) y el extremo. Esto está bien definido, debido a las propiedades de los ascensores. $HB$ es, obviamente, surjective. Ahora, si el $n$ asociado con una clase dada es $0$, luego la levantó ruta de acceso es un bucle en la universalización de la cobertura. Por lo tanto, homotopically trivial. Por lo tanto, tenemos que $[f]=p_{\#}[Lift ~f]=p_{\#}0=0$. Entonces tenemos que $HB$ es un isomorfismo.
