Monotonicidad de$\ell_p$ norma

Question

Considere la posibilidad de una $n$ dimensiones del espacio, es conocido (Wikipedia) que para $p>r>0$, tenemos

$$ \|x\|_p\leq\|x\|_r\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_p. $$

Tengo dos preguntas acerca de la desigualdad anterior.

$(\bf 1)$. La primera es cómo mostrar $\|x\|_p\leq\|x\|_r$ al $p,r\leq1$. Al $p>r\geq1$, podemos definir $$f(s)=\|x\|_s,\,\,s\geq1$$ and find out that $$f'(s)=\|x\|_s\left\{-\frac{1}{s^2}\log(\sum_i|x_i|^s)+\frac{1}{s}\frac{\sum_i|x_i|^s\log(|x_i|)}{\sum_i|x_i|^s}\right\}.$$

Luego por la concavidad de la $\log$ función, podemos ver que $$\frac{\sum_i|x_i|^s\log(|x_i|)}{\sum_i|x_i|^s}\leq \log\left(\sum_i\frac{|x_i|^s}{\sum_j|x_j|^s}\cdot|x_i|\right).$$ Vamos $$y_i=\frac{|x_i|^s}{\sum_j|x_j|^s},$$ it is easy to see $\|y\|_{s^*}\leq1$, where $s^*\geq1$ and $1/s+1/s^*=1$. A continuación, el Hölder la desigualdad conduce a la $$\frac{\sum_i|x_i|^s\log(|x_i|)}{\sum_i|x_i|^s}\leq \log\left(\sum_i\frac{|x_i|^s}{\sum_j|x_j|^s}\cdot|x_i|\right)= \log\left(\sum_iy_i\cdot|x_i|\right)\leq\log(\|x\|_s\|y\|_{s^*})\leq\log\|x\|_s.$$ Por lo tanto, podemos concluir $f'(s)\leq0$ $\|x\|_p\leq\|x\|_r$ está satisfecho. Sin embargo, cuando se $p,r<1$, no tenemos la $s^*\geq1$$\|y\|_{s^*}\leq1$. El último paso no funciona más.

(${\bf 2}$). Mi segunda pregunta es cómo mostrar $\|x\|_r\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_p.$, De hecho, yo estaba tratando de mostrar resolviendo el siguiente problema de optimización:

$$ \max_{\|x\|_p\leq1} \|x\|_r. $$ Pero parece que es difícil obtener una solución de forma cerrada. La función objetivo es no-suave. Es allí cualquier manera elegante de resolver el anterior problema de optimización?

Puede alguien darme una pista? Muchas gracias.

Answer 1

Para (i): Sea a $p>r>0$ y definen $\|x\|_p = (\sum_{i} |x_i|^p)^{1/p}$.

Primero supongamos que $\|x\|_p=1$. A continuación, $\|x\|_p^p=1$ $|x_i|\le 1$ todos los $i$. Desde $p>r$, obtenemos $|x_i|^p \le |x_i|^r$ todos los $i$ y, por lo tanto,

$$1=\|x\|_p^p = \sum_{i} |x_i|^p \le \sum_{i} |x_i|^r = \|x\|_r^r.$$

Por lo tanto, $\|x\|_r \ge 1 = \|x\|_p$.

En el caso general, el conjunto de $y_i=x_i/\|x\|_p$, $y$ el vector con componentes de $y_i$. A continuación, $\|y\|_p=1$ y podemos utilizar la primera parte de la prueba para obtener

$$ 1=\|s\|_p \le \|s\|_r= \frac{\|x\|_r}{\|x\|_p}. $$

Esto funciona para todas las $p>r>0$ cuando definimos $\|x\|_p = (\sum_{i} |x_i|^p)^{1/p}$. Sin embargo, para $p<1$, esto no define una norma, ya que no es sub-aditivo. Ver las líneas después de la fórmula de la cita de Wikipedia. A veces la fórmula $\|x\|_p=\sum_{i} |x_i|^p$ se utiliza en el caso de $p<1$.

Answer 2

Esto responde a tu primera pregunta.

En cuanto a la segunda pregunta. Considerar la desigualdad de Holder $$ \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n | a_ib_i | \ leq \ left (\ sum \ limits_ {i = 1} ^ n | a_i | ^ {s / (s-1)} \ right ) ^ {1-1 / s} \ left (\ sum \ limits_ {i = 1} ^ n | b_i | ^ s \ right) ^ {1 / s} $$ con$a_i=1$,$b_i=|x_i|^r$,$s=p/r$.

Answer 3

Para la primera desigualdad, use Lemma 4.1 en la referencia [XX Huang y XQ Yang. Un enfoque Lagrangiano aumentado unificado a la dualidad y la penalización exacta. Mathematics of Operations Research, 28 (3): 533–552, 2003.] Tenga en cuenta que$0<r\,/q<1$.