Número de divisores de un número $30^{30}$ que tienen 30 divisores

Question

La tarea consiste en calcular el número de divisores de un número $30^{30}$ pero sólo de los que tienen 30 divisores propios.

Básicamente, puedo contar cuántos divisores tiene un número dado, ya que todos están en una forma $2^\alpha3^\beta5^\gamma$ , de tal manera que $\alpha,\beta,\gamma\leqslant30$ .

Lo que me preocupa es cómo abordar la otra parte del problema.

Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

$\mathbf{Hint:}$ Vemos que hay $(31)^3$ divisores de este número. Ahora queremos los números que tienen 30 divisores. Los factores primos de los que disponemos son 2,3 y 5. Así que encontramos el número de formas en las que 30 se puede dividir en el producto de tres factores y, a continuación, después de restar 1 de cada factor de organizar adecuadamente como las potencias de 2, 3 y 5, respectivamente. $1.1.30$ por lo que podemos escribir el divisor original de 3 maneras como $2^0.3^0.5^{29}$ , $2^0.3^{29}.5^0$ y $2^{29}.3^0.5^0$ . Algunas otras formas de romper este 30 son $(2.3.5 ; 1.2.15 ; 1.3.10 ; 1.5.6)$ . Por lo tanto, la respuesta puede ser $3+3!+3!+3!+3!$ es decir $\mathbf{27}$

Answer 2

$30^{30} = 2^{30}*3^{30}*5^{30}$ .

Todo divisor será de la forma $2^a3^b4^c$ donde cada $a,b$ o $c$ puede ser cualquier número entero entre $0$ y treinta. Así que $30^{30}$ tiene $31^3$ divisores.

Ahora sólo quieres los divisores con $30$ divisores. $2^a3^b5^c$ tendrá divisores de la forma $2^{\alpha}3^{\beta}5^{\gamma}$ donde $0 \le \alpha \le a;0 \le \beta \le b; 0 \le \gamma \le c$ . Hay por $(a+1)(b+1)(c+1)$ divisores. Si $2^a3^b5^c$ tiene $30$ divisores $(a+1)(b+1)(c+1)=30$ .

Así que .... cuántas maneras hay de elegir $a,b,c$ para que $0 \le a,b,c \le 30$ y $(a+1)(b+1)(c+1) = 30$ ?

Si $c=a+1; d=b+1;e=c+1$ podemos tener $(c,d,e) = (30,1,1), (15,2,1), (15,2,1) ..etc. $ Así que podemos tener los divisores $2^{29}, 2^{14}*3, 2^{14}*5$ ...etc.