Elegir$a$ st$\frac{a^k - 1}{a-1}$ no es una potencia principal

Question

Supongamos que se nos presenta con un entero positivo $k$ y pidió a llegar a un entero positivo $a$ tal que $\frac{a^k - 1}{a-1}$ no es una fuente primaria de energía, o simplemente para probar en los niveles de primaria manera en que esto puede hacerse. ¿Cómo debemos proceder?

Por supuesto, en la práctica, esto es esencialmente trivial. Pero hay un cannonical elección? Para el caso, es que hay una escuela primaria de la prueba que muestra que esto no siempre es posible?

Esto surgió en una discusión con otro Marrón mathie sobre cosas interesantes de las que hablar en los niveles de primaria número de la teoría de la clase que van a ser la enseñanza de este verano. Para ser más específicos, estábamos tratando de demostrar la infinitud de los números primos en progresiones aritméticas de la forma $1, 1+p^n, 1+2p^n, ...$ utilizando un ingenuo totalmente un acercamiento elemental (esperemos que para ser replicado por mis alumnos de este verano), y de este lado el tema.

Answer 1

Tomar en lugar de$a$$a^2$, entonces queremos probar que$$\frac{a^{2k}-1}{a^2-1}$ $ no es un primo.

pero $\frac{a^{2k}-1}{a^2-1}=\frac{(a^k-1)(a^k+1)}{a^2-1}$

Entonces, si suponemos$k>3$, entonces seleccionamos y$a$ tal que$a^k-1>a^2-1$ y$a^k+1>a^2-1$

Por lo tanto, hay al menos un factor primo de cada$a^k-1$ y$a^k+1$ en la expresión$$\frac{a^{2k}-1}{a^2-1}$ $

Answer 2

Deje que$a=2k+1$ luego $$ \ frac {a ^ k-1} {a-1} = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ k \ binom {k} {i} (2k) ^ i} {2k} \ equiv k \ pmod {k ^ 2} $$ que no es$k$, divisible por$k$ pero no es$k^2$, y por lo tanto no es un primo o una potencia para$k>1$.