Cuasicompacto sobre esquema afín

Question

Dejemos que $X$ sea un esquema y $f : X \rightarrow \mathrm{Spec}\, A$ un morfismo cuasicompacto. ¿Existe alguna condición fácil para $A$ bajo la cual podemos decir que $X$ es cuasicompacto?

Un morfismo cuasicompacto significa únicamente que existe una cobertura afín $\cup_{i \in I} \mathrm{Spec}\, A_i$ donde $f^{-1}(\mathrm{Spec}\, A_i)$ es cuasi-compacto. No parece ser suficiente.

Answer 1

$X$ es siempre cuasi-compacto. Este es un resultado estándar que se puede encontrar en cualquier buena y completa introducción a la geometría algebraica. Pero también puedes demostrarlo tú mismo. Al fin y al cabo, es sólo un ejercicio de topología general. Pista: Los esquemas afines son cuasi-compactos. Así que elige una subcubierta finita de $\{\mathrm{Spec} A_i \to \mathrm{Spec} A\}$ y observar que $X$ es una unión finita de subespacios abiertos cuasi-compactos.