¿Qué tienen de especial las funciones medibles?

Question

Aquí hay un no-matemático, tratando de entender la teoría de la integración.

¿Por qué la integral (o la $\mu$ -¿en un libro de teoría de la medida, por ejemplo, se define para funciones medibles? La definición propiamente dicha se da primero para una función simple, lo que tiene sentido, y luego definimos la integral general de un integrando positivo $g$ como $$ \sup\{ \int f \ d \mu : f \le g, f \ \text{is simple and positive}\}$$ y además definimos la integral de cualquier $g$ en términos de $g^+$ y $g^-$ que son positivos.

Pero $g$ siempre se requiere que sea medible... ¿dónde entra en juego la medibilidad aquí? ¿Por qué es importante? ¿Dónde se cae la teoría cuando $g$ no es medible?

Answer 1

Cuando se calcula una integral de Riemann, se suele dar un paso infinitesimal a lo largo de la " $x$ " y aproximar la función $f$ en este intervalo como una constante o como una línea (aproximación rectangular o trapezoidal).

En la integración de Lebesgue, se hace una cosa diferente. Se dan pasos infinitesimales a lo largo de la " $y$ " y pregunta: Para qué $x$ es la función $f$ igual a $y$ ? Esto le da un conjunto $S(y)$ la preimagen de $y$ en $f$ para ser más precisos,

$$ S(y) = f^{-1}(y)= \{x{:}\ y\le f(x)\le y+dy\}.$$

La integración significa ahora que se multiplica el "tamaño" de este conjunto (su medida) por $f(x)$ y sumar los resultados de todos los $y$ . Pero el conjunto $S(y)$ sólo puede medirse si la función $f$ es medible. Ahí es donde entra este término. En otras palabras, si hay un $y$ para el que el conjunto $S(y)$ no es medible, falta un término en el cálculo de la integral.

Answer 2

Tengo dos perspectivas que sugerir.

Dada una función $g$ , dejemos que

$$I_+(g) = \inf \left \{ \int f d \mu : f \text{ is simple },f \geq g \right \} \\ I_-(g) = \sup \left \{ \int f d \mu : f \text{ is simple },f \leq g \right \}.$$

Entonces $g$ es acotado y medible si y sólo si $I_+(g)=I_-(g)$ . Esto es paralelo a la situación de Riemann (sustitución de funciones constantes a trozos por funciones simples). Se puede extender al caso no acotado después de haber desarrollado el caso acotado.

Alternativamente, para los casos de $g$ , defina $\int g d \mu$ para ser $\lim_{n \to \infty} \int s_n d \mu$ , donde $s_n$ es una secuencia creciente de funciones simples que converge a.e. a $g$ . Entonces dicha secuencia existe si y sólo si $g$ es medible, y el valor obtenido es independiente de la secuencia de funciones simples elegida.

La primera perspectiva se acerca más a cómo has formulado tu pregunta, pero creo que la teoría es más fácil de desarrollar desde la segunda perspectiva.