Poderes de los polinomios irreducibles en fracciones parciales

Question

Las fracciones son normalmente descompone por encontrar el numerador que va con cada término del denominador de la fracción original. Sin embargo, cuando un denominador término se repite, el algoritmo de solución consiste en encontrar los numeradores para ascender poderes de ese plazo. Así que no parece haber una diferencia en cómo tratamos a repetirse y no-repitió términos.

Pensé que podría ser muy revelador para trabajar un par de ejemplos con casi-repitió términos. Podemos encontrar, ya sea trivial o a través de la fracción parcial de la descomposición, que $$\frac{x + 5}{x^2} = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}$$ Compare this to the decomposition of a similar fraction $$\frac{x + 5}{(x + \varepsilon)(x)} = \frac{\varepsilon - 5}{\varepsilon(x + \varepsilon)} + \frac{5}{\varepsilon x}$$ where $\varepsilon$ is an arbitrarily small constant. To me, it's not particularly clear that the right-hand side (RHS) of each equation relates to that of the other. We can't set $\varepsilon$ to $0$ in the second RHS, but even using limits to let $\varepsilon$ approach $0$ doesn't yield the first RHS, as I would have guessed. Furthermore, the solution process does not harmonize the degree disparity between the top and bottom RHS; the top has the form $\frac{grado 0}{grado 1} + \frac{grado 0}{grado 2}$, while the bottom has the form $\frac{grado 0}{grado 1} + \frac{grado 0}{grado 1}$.

Menos trivial ejemplo, la comparación de $$\frac{x^2 + 1}{(x^2)(x + 3)} = -\frac{1}{9x} + \frac{1}{3x^2} + \frac{10}{9(x + 3)}$$ to $$\frac{x^2 + 1}{(x + \varepsilon)(x)(x + 3)} = \frac{1}{3\varepsilon x} + \frac{\varepsilon^2 + 1}{\varepsilon(\varepsilon - 3)(x + \varepsilon)} + \frac{10}{3(3 - \varepsilon)(x + 3)}$$ reveals a similar absence of clarity. Confusingly, one gets the urge to let some of the $\varepsilon$ approach $0$ while letting others approach $3$, pero incluso arbitrariamente lo que permite esta libertad no nos permiten llegar a la parte superior de la RHS en este par.

¿Por qué este análisis no proporcionar una visión más clara en el repetido plazo de la regla para la fracción parcial de la descomposición, y algunos otros análisis en una vena similar a trabajar mejor?

Answer 1

En su primer ejemplo, la expansión de Maclaurin con respecto a la variable$\epsilon$ da (después de un cálculo corto) $$ \ frac {\ epsilon-5} {\ epsilon (x + \ epsilon)} = - \ frac {5} {\ epsilon x} + \ left (\ frac {1} {x} + \ frac {5} {x ^ 2} \ right) + O (\ epsilon). $$ Cancele los términos$5/\epsilon x$ y luego deje$\epsilon \to 0$.

Answer 2

Tenga en cuenta que una función racional$R(x) = \frac{f(x)}{q(x)}$ puede expresarse como una suma de múltiples funciones racionales de diferentes maneras. La forma estándar es escribir la expresión de modo que los denominadores sean los poderes de los polinomios irreducibles. Pero hay múltiples formas de descomponer una expresión dada. Por ejemplo,

$$\frac{x+5}{x(x+e)} = \frac{x}{x(x+e)}+\frac{5}{x(x+e)} = \frac{1}{x+e}+\frac{5}{x(x+e)}. \tag{1}$ $ Obviamente,$$\lim_{e \to 0} \frac{1}{x+e}+\frac{5}{x(x+e)} = \frac{1}{x}+ \frac{5}{x^2}.\tag{2}$ $ Pero$(1)$ podría no ser el preferido para llevar a cabo la integración de$\frac{x+5}{x(x+e)}$.