He buscado, pero aunque muchos puestos están cerca, ninguno es dublicado.
Nuestra versión de la PNT dice que hay algo de $c$ s.t.
$$\psi(x)=x+O(x\exp(-c\sqrt{\ln x}))$$ Tenemos que demostrar la equivalencia con la existencia de algún c s.t. $$\pi(x)=li(x)+O(x\exp(-c\sqrt{\ln x}))$$ donde li(x) es la integral logarítmica de 2 a x. Conozco una solución que utiliza la integración de Stiltjes, pero busco una solución que no toque directamente la integración de Stiltjes, ya que realmente no hemos utilizado ninguna integral con respecto a "d g(t) " . Hemos demostrado directamente en clase que
$$\sum_{n\leq x}a_n f(n)=f(x)A(x)-\int_1^x A(t)f'(t)dt.$$ para $f\in C_1 , A(t)=\sum_{t\leq t} a_n$ .
Lo que he hecho hasta ahora:
He demostrado que $\psi(x)=\theta(x)+O(x^{\frac{1}{2}}ln \; x)$ . donde $\theta(x):=\sum_{p\leq x}\ln p$ . El término O es pequeño comparado con el del teorema, por lo que concluyo que $$\theta(x)=x+O(x\exp(-c\sqrt{\ln x}))$$ Así que mi idea era simplemente intentar sacar algo de la regla de integración con $A=\theta$ y $f=\frac{1}{\ln}$
$$\pi(x)=\frac{\theta(x)}{\ln x}+\int_{2^{-}}^x \frac{\theta (t)}{t\ln^2 t} dt.$$ Huele bien, porque la ecuación anterior se planteó como un ejercicio previo, pero no puedo pasar de aquí, aunque se planteó como un ejercicio fácil.
Le agradecería mucho que no indicara la solución, sino que escribiera una pequeña pista para poder seguir adelante.
