Si $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$$g\in L^p(\mathbb{R}^n)$, luego por los Jóvenes de la convolución de la desigualdad tenemos la estimación: $$ \|f*g\|_{L^p}\leq \|f\|_{L^1}\|g\|_{L^p}.$$
Pregunta: Vamos a $\mu$ ser una medida de probabilidad $\mu\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$$g\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$. A continuación, la convolución $g*\mu$ se define como $$(g*\mu)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}g(x-y)\mu(dy).$$ Hay alguna esperanza de obtener una estimación de los Jóvenes del tipo en este caso? Lo que me gustaría tener es una estimación del tipo de $$\|g*\mu\|_{L^p}\leq A_\mu \|g\|_{L^p}, \text{ where $$ is a quantity dependent on $\Mu$ which stays bounded.} $$
Observaciones:
(1) tenga en cuenta que si $\mu$ es absolutamente una medida continua w.r.t. la medida de lebesgue es decir $\mu<<\mathcal{L}_{{R}^n}$, en los Jóvenes de la desigualdad se cumple.
(2) Si $\mu$ es una medida de dirac (en el sentido de Lebesgue teorema de la descomposición) decir $\mu=\delta_0$, una estimación similar sigue así $$ \|g*\delta_0\|_{L^p}^p=\int_{\mathbb{R}^n}dx\left|\int_{\mathbb{R}^n}g(x-y)d\delta_0(dy)\right|=\|g\|_{L^p}.$$
Por Lebesgue del teorema de la descomposición $\mu$ puede ser escrita como una suma de absolutamente continuas parte, discreto (delta) y un cantor parte. No sé cómo manejar el Cantor parte.
Manera posible (no demasiado seguro acerca de esto): Dado que la estimación de obras para absolutamente medidas continuas (o $L^1$ densidades de podemos de alguna manera llegar a un obligado por algunas aproximaciones?
Cualquier ayuda se agradece mucho!
