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La convolución de la probabilidad de medir con una función suave

Si $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$$g\in L^p(\mathbb{R}^n)$, luego por los Jóvenes de la convolución de la desigualdad tenemos la estimación: $$ \|f*g\|_{L^p}\leq \|f\|_{L^1}\|g\|_{L^p}.$$

Pregunta: Vamos a $\mu$ ser una medida de probabilidad $\mu\in \mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$$g\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$. A continuación, la convolución $g*\mu$ se define como $$(g*\mu)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}g(x-y)\mu(dy).$$ Hay alguna esperanza de obtener una estimación de los Jóvenes del tipo en este caso? Lo que me gustaría tener es una estimación del tipo de $$\|g*\mu\|_{L^p}\leq A_\mu \|g\|_{L^p}, \text{ where $$ is a quantity dependent on $\Mu$ which stays bounded.} $$

Observaciones:

(1) tenga en cuenta que si $\mu$ es absolutamente una medida continua w.r.t. la medida de lebesgue es decir $\mu<<\mathcal{L}_{{R}^n}$, en los Jóvenes de la desigualdad se cumple.

(2) Si $\mu$ es una medida de dirac (en el sentido de Lebesgue teorema de la descomposición) decir $\mu=\delta_0$, una estimación similar sigue así $$ \|g*\delta_0\|_{L^p}^p=\int_{\mathbb{R}^n}dx\left|\int_{\mathbb{R}^n}g(x-y)d\delta_0(dy)\right|=\|g\|_{L^p}.$$

Por Lebesgue del teorema de la descomposición $\mu$ puede ser escrita como una suma de absolutamente continuas parte, discreto (delta) y un cantor parte. No sé cómo manejar el Cantor parte.

Manera posible (no demasiado seguro acerca de esto): Dado que la estimación de obras para absolutamente medidas continuas (o $L^1$ densidades de podemos de alguna manera llegar a un obligado por algunas aproximaciones?

Cualquier ayuda se agradece mucho!

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Vijesh VP Puntos 2535

Me gustaría hacer uso de aproximaciones. Primero supongamos que $g \in C_c(\mathbb R^n)$. Construir una secuencia de medidas de $\mu_k$ que son absolutamente continuas w.r.t. Medida de Lebesgue (o, alternativamente, son combinaciones lineales finitas de funciones delta de dirac) tal que $\mu_k$ converge débilmente a $\mu$. A continuación, para cada una de las $x \in \mathbb R^n$,$\mu_k*g(x) \to \mu*g(x)$. Ahora use el teorema de convergencia dominada para mostrar que $\|\mu_k*g - \mu*g\|_p \to 0$, e ir de allí.

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