Qué $f(x)\in L^1$ implica que $f'(x) \in L^1$?

Question

Deje $f(x)$ ser definida para todos los números reales diferenciables en función de una variable.Sabemos que: $$\int_{-\infty }^{+\infty } |f(x)| \, dx\neq +\infty$$ Problema a resolver, si es posible o no que: $$\int_{-\infty }^{+\infty } |f'(x)| \, dx= +\infty$$

Answer 1

Contraejemplo: tomar $$ f(x) = \begin{cases} x^2e^{-x^2}\sin(1/x^2) & x \neq 0\\ 0 & x = 0 \end{casos} $$ Tenga en cuenta que si bien $f$ es absolutamente integrable, $$ f'(x) = \begin{cases} 2e^{-x^2}\frac{x^2(x^2 - 1)\sin(1/x^2) + \cos(1/x^2)}{x} & x \neq 0\\ 0 & x = 0 \end{casos} $$ No es.

De esta manera, he utilizado la función de $e^{-x^2}$ a "jugar" con David de la función y la "redefinir las colas".

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La prueba de que $f'(x)$ no es absolutamente integrable:

Tenga en cuenta que $|f'(x)| \geq C \left|\frac{\cos(1/x^2)}{x}\right|$ para algunas constantes $C$. Así, es suficiente para mostrar que la integral $$ \int_{-1}^1 \left|\frac{\cos(1/x^2)}{x}\right| \,dx $$ Diverge. Para demostrar que este es el caso, tenga en cuenta que $$ \int^{1/\sqrt{\pi n}}_{1/\sqrt{\pi(n+1)}} \left|\frac{\cos(1/x^2)}{x}\right| \,dx \\ \geq \int^{1/\sqrt{\pi(n+1/4)}}_{1/\sqrt{\pi(n+3/4)}} \left|\frac{\cos(1/x^2)}{x}\right| \,dx \\ \geq \left(\frac 1{\sqrt{(n + 1/4)\pi}} - \frac 1{\sqrt{(n + 3/4)\pi}}\right)\cdot \sqrt{n \pi} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Demuestra que este es acotado abajo por $D/n$ para algunas constantes $D>0$. Desde allí, se sigue que $$ \int_{-1}^1 |f'(x)|\,dx \geq \sum_{n=-N}^N D/n $$ Desde que llegamos a la conclusión de que la integral diverge.

Answer 2

Creo que tratando de usar una "única fórmula de la función" hace que las cosas innecesariamente complicado. Aquí es un contraejemplo. Se basa en la función $$ t\mapsto (x-a)^2(b-x)^2. $$ Esta función, en el intervalo de $[a,b]$ es diferenciable con la función y la derivada es cero en los extremos. Esta característica nos permite poner esos "bultos" en diferentes lugares y aún así obtener una función derivable. Vamos $$ f(t)=\sum_{n=1}^\infty n^8(x-n)^2(n+\frac1{n^2}-x)^2\,1_{[n,n+\frac1{n^2}]}. $$ Como $n$ crece, los bultos son más delgados y más. De modo que podemos obtener de áreas pequeñas con grandes derivados: $$ \int_{\mathbb R} |f|=\sum_{n=1}^\infty\int_n^{n+1/n^2}n^8(x-n)^2(n+\frac1{n^2}-x)^2 =\sum_{n=1}^\infty\,n^8\,\frac1{30n^{10}}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{30 n^2}<\infty. $$ Y $$ \int_{\mathbb R}|f'|=\sum_{n=1}^\infty\int_n^{n+1/n^2}|2n^8(x-n)(n+1/n^2-x)(2n+1/n^2-2x)|\,dx\\ =\sum_{n=1}^\infty\int_n^{n+1/2n^2}2n^8(x-n)(n+1/n^2-x)(2n+1/n^2-2x)\,dx\\-\int_{n+1/2n^2}^{n+1/n^2}2n^8(x-n)(n+1/n^2-x)(2n+1/n^2-2x)\,dx\\ =\sum_{n=1}^\infty n^8\,\frac1{8n^8}=\infty $$

Answer 3

Contraejemplo: $f(x)=\frac{\sin(e^x)}{1+x^2}$ - función suave $$\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{\sin(e^x)}{1+x^2}\right| \,dx\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2} \,dx=\pi$$

Lo que significa que $f(x)\in L^1$ $$f'(x)=\frac{e^x \left(x^2+1\right) \cos \left(e^x\right)-2 x \sin \left(e^x\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$$ Nota: $\forall_{\varepsilon > 0} \lim_{X\to \infty } \, \int_X^{X+\varepsilon} f'(x) \, dx=0$ $$|f'(x)|=\frac{e^x \left(x^2+1\right) \left|\cos \left(e^x\right)-\frac{2 x}{x^2+1} \frac{\sin \left(e^x\right)}{e^x}\right|}{\left(x^2+1\right)^2}\geqslant \frac{1}{2}\frac{e^x \left|\cos \left(e^x\right)-\frac{2 x}{x^2+1} \frac{\sin \left(e^x\right)}{e^x}\right|}{\left(x^2+1\right)}\geqslant \frac{1}{4}\frac{e^x \left(\cos \left(e^x\right)-\frac{2 x}{x^2+1} \frac{\sin \left(e^x\right)}{e^x}\right)^2}{\left(x^2+1\right)}$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(x)| \,dx > \frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^x \left(\cos \left(e^x\right)-\frac{2 x}{x^2+1} \frac{\sin \left(e^x\right)}{e^x}\right)^2}{\left(x^2+1\right)} \,dx$$

$\left|\frac{2 x}{x^2+1} \sin \left(e^x\right)\right|\leqslant 1$ , lo que significa que si se demuestra que la divergencia de $\int_{0}^{+\infty}\frac{e^x \cos \left(e^x\right)^2}{\left(x^2+1\right)} \,dx$ podemos demostrar la divergencia de $\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(x)| \,dx$. $$\int_0^{+\infty}\frac{e^x \cos \left(e^x\right)^2}{\left(x^2+1\right)} \,dx> \int_0^{+\infty}\cos \left(e^x\right)^2 \,dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{2} \,dx+\frac{1}{2}\int_0^{+\infty}\cos \left(2e^x\right) \,dx$$

Tenga en cuenta que:$\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)^{'}=\frac{e^x (-1+x)^2}{\left(1+x^2\right)^2}\geqslant 0$, por lo que finalmente si $\int_0^{+\infty}\cos \left(2e^x\right) \,dx$ es convergente de $\int_{-\infty}^{+\infty}|f'(x)| \,dx=+\infty$. $$\int_0^{+\infty}\cos \left(2e^x\right) \,dx=\int_2^{+\infty}\frac{\cos \left(v\right)}{v} \,dv$$ $\int_2^{+\infty}\frac{\cos \left(v\right)}{v} \,dv$ es convergente por Dirichlet de la prueba o, incluso, Leibniz prueba con $a_n=\int_{n\pi+0.5\pi}^{(n+1)\pi+0.5\pi}\left|\frac{\cos \left(v\right)}{v}\right| \,dv$ , lo que completa la prueba.