Encuentre todos $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^+$ que $a^2+b+c+d,b^2+a+c+d,c^2+a+b+d,d^2+a+b+c$ son todos cuadrados perfectos.
He encontrado $(1,1,1,1)$ pero no puedo encontrar más.
Es $a=b=c=d$ ¿Es cierto?
Respuestas
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Las soluciones son $(11, 11, 6, 6)$ , $(96, 96, 57, 40)$ y $(x, x, x, 1)$ , donde $3x + 1$ es un cuadrado.
Sin pérdida de generalidad, $a \ge b \ge c \ge d$ ya que es simétrica (no sólo cíclica). Entonces $$a^2 < a^2 + b + c + d \le a^2 + 4a < (a+2)^2 \implies a^2 + b + c + d = (a+1)^2.$$ Así, $b + c + d = 2a + 1$ . Entonces $$b \ge {1\over3}(2a + 1) \implies a \le {3\over2}b,$$ así que $$b^2 < b^2 + c + d + a \le b^2 + {7\over2}b < (b+2)^2 \implies b^2 + c + d + a = (b+1)^2.$$ Así, $b + c + d = 2a + 1$ y $c + d + a = 2b + 1$ , lo que implica $a = b$ Por lo tanto $c + d = a + 1$ .
En consecuencia, $$c \ge{1\over2}(2a+1) \implies a < 2c,$$ así que $$(c+1)^2 \le c^2 + 2a + d \le c^2 + 5c < (c+3)^2,$$ y por lo tanto tenemos dos casos.
Caso 1. Si $c^2 + 2a + d = (c+1)^2$ Debemos tener $a = b = c$ y $d = 1$ . Así, encontramos que $(a, b, c, d) = (x, x, x, 1)$ donde $x$ es tal que $3x + 1$ es un cuadrado. Este es un conjunto de soluciones.
Caso 2. Si $c^2 + 2a + d = (c + 2)^2$ Así que $2a + d = 3c + 4$ . Combinado con $c + d = 2a + 1$ se deduce que $a = (5/2)d - 4$ y $c = (3/2)d - 3$ . Así que $$(d+1)^2 \le d^2 + 2a + c = d^2 + {{13}\over2}d - 11 < (d+4)^2.$$ Por lo tanto, al establecer esto igual a $(d+1)^2$ , $(d+2)^2$ , $(d+3)^2$ encontramos las soluciones enteras $d = 6$ y $d = 40$ . Esto da las soluciones $(11, 11, 6, 6)$ y $(96, 96, 57, 40)$ .
Por lo tanto, las soluciones son $(11, 11, 6, 6)$ , $(96, 96, 57, 40)$ y $(x, x, x, 1)$ , donde $3x + 1$ es un cuadrado.
Tito Piezas III
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13051
Como las expresiones son simétricas, entonces podemos establecer $a\leq b\leq c\leq d$ sin pérdida de generalidad. Hay un número infinito de soluciones enteras positivas si suponemos $a=1$ y $b=c=d=n$ lo que da como resultado,
$$\begin{aligned} a^2+b+c+d &= 3n+1\\ a+b^2+c+d &= (n+1)^2\\ a+b+c^2+d &= (n+1)^2\\ a+b+c+d^2 &= (n+1)^2 \end{aligned}\tag1$$
y es fácil de encontrar resolver $3n+1 = y^2$ .
Excluyendo esta familia infinita, parece que las únicas soluciones con todas las variables $1\leq a\leq b\leq c\leq d < 100$ son,
$$a,b,c,d = 6,6,11,11$$
$$a,b,c,d = 40,57,96,96$$
aunque no estoy seguro de este resultado. ( Cualquiera puede comprobarlo ?)
Russell Harkins
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131
He ejecutado un pequeño programa en C# para utilizar la fuerza bruta para encontrar muchas respuestas:
1,5,5,5
1,8,8,8
5,1,5,5
5,5,1,5
5,5,5,1
8,1,8,8
8,8,1,8
8,8,8,1
96,96,57,40
Este es el programa:
using System;
namespace PerfectSquare
{
class MainClass {
public static void Main (string[] args) {
long a,b,c,d;
const int range = 100;
for (a=1; a<=range; a++) {
for(b=1;b<=range;b++) {
for(c=1;c<=range;c++) {
for(d=1;d<=range;d++) {
if (!IsPerfectSquare(a*a+b+c+d)) continue;
if (!IsPerfectSquare(b*b+a+c+d)) continue;
if (!IsPerfectSquare(c*c+a+b+d)) continue;
if (!IsPerfectSquare(d*d+a+b+c)) continue;
Console.WriteLine (String.Format ("{0} {1} {2} {3}",a,b,c,d));
}
}
}
}
Console.WriteLine ("Finished.");
}
private static bool IsPerfectSquare(long value) {
System.Double test;
test = Math.Sqrt(value);
return Math.Floor(test) == test;
}
}
}
dohmatob
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1195
Haz una búsqueda por fuerza bruta. Aquí hay un trozo de código Python que debería hacer el trabajo
from math import sqrt, floor
_is_whole = lambda x: floor(x) == x
_is_ps = lambda n: _is_whole(sqrt(n))
min_int = 1
max_int = 150
for a in range(min_int, max_int + 1):
for b in range(a, max_int + 1):
for c in range(b, max_int + 1):
for d in range(c, max_int + 1):
for x in [a ** 2 + b + c + d, a + b ** 2 + c + d,
a + b + c ** 2 + d, a + b + c + d ** 2]:
if not _is_ps(x):
break
else:
print a, b, c, dCuando se ejecuta, debería producir la siguiente salida:
1 1 1 1
1 5 5 5
1 8 8 8
1 16 16 16
1 21 21 21
1 33 33 33
1 40 40 40
1 56 56 56
1 65 65 65
1 85 85 85
1 96 96 96
1 120 120 120
1 133 133 133
6 6 11 11
40 57 96 96
jonathan hall
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307
Creo que este sistema de ecuaciones diofantinas.
$$\left\{\begin{aligned}&A^2+(B+C+D)Q=X^2\\&B^2+(A+C+D)Q=Y^2\\&C^2+(A+B+D)Q=Z^2\\&D^2+(A+B+C)Q=W^2\end{aligned}\right.$$
Es mejor resolver en General. Esta notación permite encontrar soluciones para cualquier valor $Q$ . Solución escribimos mejor.
$$A=(2b+c)(2f+k)ckt^2p^2+2((2b+c)ct^2f^2+2(b^2t^2+2bca^2)fk+(b^2t^2-a^2c^2)k^2)ps+$$
$$+((2b+c)ct^2f^2+2(b^2t^2-a^2c^2)fk+(b^2t^2-2(b+c)ca^2)k^2)s^2$$
$$***$$
$$B=(2a+t)(2f+k)tkc^2p^2+2((2a+t)tc^2f^2+2(a^2c^2+2atb^2)fk+(a^2c^2-b^2t^2)k^2)ps+$$
$$+((2a+t)tc^2f^2-2(b^2t^2-a^2c^2)fk+(a^2c^2-2(a+t)tb^2)k^2)s^2$$
$$***$$
$$C=(2b+c)(2a+t)ctk^2p^2+2((4ab-tc)tcf^2+((2a+t)tb^2+(2b+c)ca^2)k^2)ps+$$
$$+(((2a+t)tb^2+(2b+c)ca^2)k^2-2(ac+bt+tc)tcf^2)s^2$$
$$***$$
$$D=2((4ab-tc)f-(ac+bt+tc)k)tckp^2+$$
$$+((2b+c)(2a+t)tcf^2+((2b+c)ca^2+(2a+t)tb^2)(2f+k)k)s^2$$
$$***$$
$$Q=tcsk(4((tc-4ab)f+(ac+bt+tc)k)p+$$
$$+(4(ac+bt+tc)f+(4ab+4ac+4bt+3tc)k)s)$$
$$***$$
$$X=(2b+c)(2f+k)ckt^2p^2+$$
$$+2((2b+c)ct^2f^2+2(t^2b^2+(ct-2ab)ac)fk+((ac+2bt+2ct)ac+t^2b^2)k^2)ps+$$
$$+((2b+c)ct^2f^2+2((ac+2bt+2ct)ac+t^2b^2)fk+$$
$$+(2(b+c)ca^2+(4b+3c)atc+t^2b^2)k^2)s^2$$
$$***$$
$$Y=(2a+t)(2f+k)tkc^2p^2+$$
$$+2((2a+t)tc^2f^2+2(c^2a^2+(tc-2ab)bt)fk+(a^2c^2+(2ac+bt+2tc)bt)k^2)ps+$$
$$+((2a+t)tc^2f^2+2(a^2c^2+(2ac+bt+2ct)bt)fk+(2(a+t)tb^2+(4a+3t)tbc+a^2c^2)k^2)s^2$$
$$***$$
$$Z=(2a+t)(2b+c)tck^2p^2+$$
$$+2((tc-4ab)tcf^2+2(ac+bt+tc)tcfk+((2a+t)tb^2+(2b+c)ca^2)k^2)ps+$$
$$+(2(ac+bt+tc)tcf^2+(4ab+4bt+4ac+3tc)tcfk+((2a+t)tb^2+(2b+c)ca^2)k^2)s^2$$
$$***$$
$$W=2((tc-4ab)f+(ac+bt+tc)k)tckp^2+$$
$$+(4(ac+bt+tc)f+(4ab+4ac+4bt+3tc)k)tckps+$$
$$+((2b+c)(2a+t)tcf^2+((2b+c)ca^2+(2a+t)tb^2)(2f+k)k)s^2$$
$a,t,b,c,f,k,p,s - $ enteros que podemos pedir.
Si queremos saber cuáles son las probabilidades, por ejemplo $Q=1 , 2 , 3 ....$ . Basta con sustituir la fórmula y resolver la ecuación. Todo se reducirá a la factorización.
