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cómo demostrar que un grupo es elementarily equivalente para el grupo aditivo de los enteros

Hay alguna bastante fácil manera de demostrar que un grupo es elementarily equivalente para el grupo aditivo de los enteros?

He encontrado una simple caracterización de aquí: Un 'natural' de la teoría, sin un primer modelo, pero la prueba en Szmielew del papel es bastante largo y de mucho más general, mientras que yo estoy buscando algo más elementales.

Específicamente, me gustaría mostrar que el subgrupo de racionales generados por las fracciones de la forma 1/p para p primo es equivalente a los números enteros, pero más general, relativamente simple solución sería apreciada.

editar: Como se señaló en los comentarios, me refiero a la aditivo grupo de los racionales (claramente, puesto que para el grupo multiplicativo de las fracciones generaría todo el grupo, y ciertamente no es equivalente a la de los números enteros, si es multiplicativo o aditivo), y el subgrupo también puede ser caracterizado como el grupo de fracciones con squarefree denominadores, aunque elemental de equivalencia es un concepto de modelo de la teoría (como se indica en las etiquetas).

szmielew de papel, considerando las clases de equivalencia de abelian grupos se puede encontrar aquí: matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm41/fm41122.pdf , pero es a partir de los años 50, por lo que es bastante difícil de leer debido a que está obsoleta y muy aparente falta de látex modernos.

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Shery Puntos 16

Creo que se puede demostrar que los axiomas de torsión libre abelian grupo + axiomas para el efecto de que $G/nG\cong Z/nZ$ (por ejemplo, para cada elemento $x$ coprime con $n$, múltiplos de $x$ el rendimiento de todos los posibles "residuos modulo $n$", de la que no son exactamente $n$) + las definiciones de los nuevos símbolos de $n\vert\cdot$ por cada $n$ es suficiente para q.e., a partir de la cual la integridad de la teoría fácilmente de la siguiente manera, pero es una tarea tediosa:

Por simplicidad, suponemos que también tienen un símbolo para el inverso aditivo de la función (no hace mucho de una diferencia). La fórmula general que se supone que estamos q.e. es de la forma: $\exists x \bigwedge mx=A\wedge \bigwedge mx\neq A\wedge\bigwedge n\vert mx+A\wedge\bigwedge n\nmid mx+A$ (donde $A$ es un número entero combinación de otras variables de $x$, e $m,n,A$ son todos diferentes, pero sin etiquetar para evitar indexitis).

  1. Si la primera bigwedge es no vacío, podemos fácilmente q.e. sin invocar el $G/nG$ axiomas mediante la adición de un subformula de la forma $n\vert A$, multiplicando todas las otras expresiones (incluyendo los divisores) por $n$ y sustituir cada ocurrencia de $nx$ $A$
  2. Si no es así, pero la tercera y la cuarta bigwedge está vacía, la fórmula simplemente es la verdad (ya que el grupo es infinito), por lo que es equivalente a $x=x$, de lo contrario, por razones semejantes, podemos asumir que está vacío
  3. El uso de los axiomas podemos probar una forma de teorema del resto chino suficiente para dividir en un conjunto de fórmulas de la forma $\exists x \bigwedge p^k\vert mx+A\wedge\bigwedge p^k\nmid mx+A$ donde $p$ son todos de la misma
  4. Un poco más de un cuidadoso análisis, nos permite asumir que el $k$ son todos el mismo, mientras que $m$ son todos de la forma$p^c$$c<k$.
  5. El resto de declaración puede ser interpretado como una declaración de que permite que sólo algunas de residuos modulo $p^k$ y prohíbe a los otros; el uso de la $G/nG$ axioma podemos ver que si es o no es válido sólo depende de que los residuos de $A$'s modulo algunos $p^{k-c}$coinciden, y que $A$'s son divisibles por algunos $p^c$

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