Cálculo de la energía umbral de las reacciones de las partículas

Question

{..todo lo que sigue está en el dominio de la cinemática relativista..}

Digamos que una partícula A colisiona con una partícula B en reposo y produce las partículas C y D.

¿Cuál es exactamente la definición de "energía umbral" para una reacción?

¿Es la energía que debe tener A para que se produzca el más pesado de C y D en reposo?

Dadas las masas de todas las partículas, ¿cómo se calcula la energía umbral que debe tener A para provocar esta reacción?

Intuyo que un escenario de energía umbral significaría que C y D se mueven en la misma dirección en la que entraba A. Creo que es un "desperdicio" innecesario de energía que C y D desarrollen impulso en las dos direcciones transversales del movimiento de A. Pero no puedo demostrar esto en general.

Me gustaría saber cómo se analiza esta situación.

Answer 1

Lubos ya ha explicado que incluso en el umbral los productos se producen en reposo sólo en el marco del Centro de Momento del sistema inicial, pero este es un buen problema para demostrar el poder del cálculo con invariantes relativistas.

Para encontrar el umbral es una forma ingenua, podríamos calcular la velocidad del marco del centro del momento en función de la energía del haz, luego impulsar tanto el haz como el objetivo en ese marco y calcular la energía total. No es una tarea especialmente difícil.

Pero podemos hacerlo mejor.

El vector total de cuatro momentos de los productos en el umbral, en el CdM de es

$$ \mathbf{P} = \mathbf{p}_C + \mathbf{p}_D = (m_C,\vec{0}) + (m_D,\vec{0}) $$

y elevando al cuadrado obtenemos la masa (relativistamente invariante) del sistema en el umbral:

$$ M_f^2 = (m_C + m_D, \vec{0})^2 = m_C^2 + 2 m_C m_D + m_D^2 $$

Podemos calcular la misma cantidad para los precursores en el marco del laboratorio de referencia:

$$ \mathbf{p}_A = (E_A,\vec{p}_A) \approx (p_A, \vec{p}_A) $$ $$ \mathbf{p}_B = (E_B,\vec{p}_B) = (m_B, \vec{0}) $$

donde he supuesto que el haz es totalmente relativista (oye, pasé mucho tiempo en una instalación de aceleradores de electrones). Esto hace que la masa al cuadrado del sistema inicial

$$ M_i^2 = (p_A + m_B, \vec{p}_A)^2 = (p_A^2 + 2 p_A m_B + m_B^2) - p_A^2 $$

que simplificamos y fijamos igual a la masa al cuadrado de los productos finales para encontrar el momento del haz necesario para la producción del umbral:

$$ p_{A,\text{threshold}} = \frac{ (m_C + m_D)^2 - m_B^2}{2 m_B} $$

Una mitad de este cálculo se hizo en el marco del CdM y la otra mitad en el marco del laboratorio, pero como sólo comparé cantidades invariantes de Lorentz pude combinarlas impunemente.

Answer 2

Estimado Anirbit, la energía umbral es la energía mínima para la que puede producirse una determinada colección de partículas en el estado final.

Es fácil ver que este mínimo de energía se produce cuando todas las partículas -si son muchas- del estado final se mueven con la misma velocidad, es decir, si tienen los mismos valores de $\vec p / E$ . Equivalentemente, existe un sistema inercial en el que todas las partículas finales están en reposo.

Sin embargo, como has señalado correctamente, esto no significa que este sistema inercial en el que las partículas finales están en reposo tenga que coincidir con un marco inercial particular del estado inicial. Si se consideran las colisiones frontales de dos partículas igualmente pesadas que van en dirección opuesta, entonces es cierto: el umbral de energía significa que las partículas finales se producen en reposo.

Sin embargo, si se consideran, por ejemplo, las colisiones con un objetivo fijo -un protón en movimiento con un $\vec p=0$ protón - no es el caso. En cambio, la velocidad final irá en la misma dirección que el protón inicial en movimiento. Eso lo dicta la conservación del momento. Véase Wikipedia para un cálculo particular de la energía umbral.