Hace el ingenuo definición de "propiedad conmutativa de la categoría" tiene interesantes consecuencias?

Question

Por un conmutativa monoid, volvamos a un monoid $A$ que $a,b \in A$ implica $ab=ba$. No es en absoluto evidente cómo generalizar esto para el caso de una categoría arbitraria; no podemos simplemente asumir que todos los morfismos $f$ $g$ satisfacer $fg=gf$, ya que el dominio y codominio de las condiciones no se cumplen. Nos puede sin embargo suponer que todos los objetos $X$ y todos los endomorphisms $f,g \in \mathrm{End}(X),$ $fg=gf.$ Permite llamar a esto el ingenuo definición de "propiedad conmutativa de la categoría."

Tiene interesantes consecuencias?

Answer 1

No creo que esta es una definición útil. No tiene en cuenta los morfismos que hay endomorphisms.

Conmutativa monoids son precisamente los monoid objetos en la categoría de monoids (Eckmann-Hilton argumento). Si $M$ es un conmutativa monoid, la multiplicación mapa es un homomorphism $M \times M \to M$.

Ya que las categorías son muchos-los-objetos-monoids, se podría esperar que la (pequeña) "conmutativa categorías" son los monoid objetos en la categoría de (pequeñas) de las categorías, es decir, la estricta monoidal categorías. Esto tiene la correcta decategorification: Una categoría monoidal con un objeto (incluso no se supone que para ser simétrico) es el mismo que el de un conmutativa monoid.

Tengo que admitir que esto no es una respuesta satisfactoria, porque preferimos esperar que "conmutativa" es una propiedad, no un extra de estructura.

Edit: Hay una buena razón por la que no hay ninguna definición natural de un conmutativa de la categoría: Si $O$ es un conjunto, la categoría de $O$-gráfico tiene como objetos los pares de $(M,M \rightrightarrows O)$, que consta de un conjunto $M$, y un par de paralelas morfismos $s,t : M \to O$. Esta categoría es monoidal con una unidad de $(O,O = O)$ y el producto tensor $(M,s,t) \otimes (M',s',t') = (M \times_{t,s'} M', s \circ \mathrm{pr}_1,t \circ \mathrm{pr}_2)$. A continuación, una categoría con el objeto de establecer $U$ es el mismo como un monoid objeto en esta categoría monoidal (esto es fácil de ver, para una referencia de véase la sección II.7 en Mac Lane CWM). Con el fin de definir conmutativa monoids, necesitamos un monoidal simétrica categoría. Sin embargo, la categoría de $O$-gráficos no monoidal simétrica. Sólo el pleno de la subcategoría que consta de los $O$-gráficos con $s=t$ es monoidal simétrica. La conmutativa monoid objetos en ella corresponden a las categorías que son distintos sindicatos de la conmutativa monoids.

Answer 2

He llegado aquí desde Google en la búsqueda de una referencia en estas categorías, por lo que sería muy feliz si alguien se da algunas "consecuencias interesantes".

La propiedad que tal "conmutativa de la categoría de" de que me quieren tomar ventaja de es que usted puede calcularlos a partir de un número finito de presentación. En realidad necesito un poco más fuerte que el de la condición, de que el endomorfismo monoids son abelian grupos. Cuando digo "presentación" tengo en mente un conjunto simplicial, y estoy interesado en la categoría fundamental. Ahora, las categorías son demasiado difíciles de trabajar para la aplicación que tengo en mente y no quiero invertir más bordes que tengo que hacer. La imposición de la conmutatividad y invertibility relaciones en endomorphisms da una categoría que es mucho más rica que la primera homología, pero todavía es posible trabajar con.

Estoy de acuerdo con el resto de colaboradores de aquí que la condición puede ser un poco artificial de una categoría de la teoría de la perspectiva, pero todavía se puede tener un uso práctico.

EDIT: he encontrado un poco sobre este tema en el tema de la gráfica de congruencias. Un gráfico de la congruencia es esencialmente una relación de equivalencia en el conjunto de caminos en un grafo dirigido, en el que se respeta extremos y composición de caminos. es decir, el conjunto de clases de equivalencia de las rutas de las formas de una categoría.

Realmente no estoy lo suficientemente familiarizado con los términos utilizados en los documentos que he encontrado (lenguas, variedades, etc.) a decir cualquier cosa acerca de ellos, pero a ver:

Arkadev Chattopadhyay y Denis Therien Localmente Conmutativa Categorías

y sus referencias.