Encuentra el valor de $r$ y el límite de

Question

Para algunos $r \in \mathbb Q$, el límite
$$\lim_{x \rightarrow \infty}x^r.\frac{1}2.\frac{3}4.\frac{5}6......\frac{2x-1}{2x}$$ existe y es distinto de cero
¿Cuál es el valor de $r$ ¿y cuál es ese límite igual a?

Reescribí el producto $\frac{1}2.\frac{3}4.\frac{5}6......\frac{2x-1}{2x}$ = $\frac{(2x)!}{2^{2x}(x!)^2}$ pero no ayuda.

Answer 1

Tomando su reescrito expresión que es realmente muy útil, me haría uso de la aproximación de Stirling, donde por un gran $x$

$\large x! \sim \sqrt{2\pi x}(\frac{x}{e})^x$

Así tenemos, por $x \rightarrow \infty$ (saltarse algunos pasos intermedios)

$\large x^r\frac{(2x)!}{2^{2x}(x!)^2} \sim \frac{x^r\sqrt{2\pi(2x)}(\frac{2x}{e})^{2x}}{2^{2x}(\sqrt{2\pi x}(\frac{x}{e})^x)^2}=\frac{x^{r-0.5}}{\sqrt{\pi}}$

El valor de $r$ para el cual la expresión converge a un número finito valor distinto de cero es $0.5$, como el poder de la $x$$0$, lo que resulta en $x^{r-0.5}=1$.

El valor en el que el límite de converge es $\large \frac{1}{\sqrt{\pi}}$

Answer 2

Deje $x^r.\frac{1}{2}.\frac{3}{4} \dots \frac{2x-1}{2x} = A \tag{1}$.

Claramente $A < x^r. \frac{2}{3} \tag{2}. \frac{4}{5}.\frac{6}{7} \dots \frac{2x}{2x+1}$ $A > x^r. \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5} \dots \frac{2x-2}{2x-1} \tag{3}$

Multiplicando $(1)$$(3)$,

$A^2 > x^{2r}.\frac{1}{2(2x)} \text{ or }, A > \frac{x^r}{2 \sqrt{x}}$. El límite no existe si $r >0.5$. Ahora tenemos que comprobar si el límite existe para $r \leq 0.5$

Multiplicando $(1)$$(2)$, gwt

$A < \frac{x^r}{\sqrt{2x+1}}$ y es claro que $A$ es finito y distinto de cero para$r=0.5$$\lim_{x \to \infty} A \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Soy incapaz de ir más allá y dar la exct valor del límite.