L'Hopitals Regla de mantener para la derivada segunda, tercera derivada, etc...?

Question

L'Hopitals Regla de mantener para la derivada segunda, tercera derivada, etc...? Suponiendo que la función diferencial de hasta el $k$th derivado, es la siguiente verdad?

$$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \cdots = \lim_{x\to c} \frac{f^{(k)}(x)}{g^{(k)}(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^{(k+1)}(x)}{g^{(k+1)}(x)}$$

Answer 1

Cuando de L'Hospital de la regla se expresa diciendo que $\displaystyle \lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$ una de las hipótesis es que el $\lim_{x\to c}f(x) = \lim_{x\to c} g(x) = 0,$ o de lo contrario ambos límites se encuentran entre los dos objetos de $\pm\infty.$ con el fin De dar un paso más y decir $\displaystyle \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f''(x)}{g''(x)},$ usted necesita saber que $\lim_{x\to c} f'(x) = \lim_{x\to c} g'(x) = 0$ o más, tanto de aquellos que están entre los $\pm\infty.$ Y usted no necesita saber nada más allá de L'Hospital de la regla como se indicó al principio para saber que.

Otra hipótesis de L'Hospital de la regla es que el límite a la derecha de la "equivale a" firmar existe. No hay garantía de que L'Hospital de la norma puede ser aplicada hasta que usted lo sabe.

(Donde escribió $n\to c,$ escribí $x\to c$.)

Answer 2

Bien, vamos a ver. Bajo las condiciones especificadas y $f(c)=g(c)=0$ (o ambos van a la $\pm\infty$), luego

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Ahora, si $f'(x)$ $g'(x)$ todavía se mantienen todas las condiciones y $f'(c)=g'(c)=0$ (o ambos van a la $\pm\infty$), luego

$$\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f''(x)}{g''(x)}$$

Y usted puede repetir este proceso hasta que el límite es fácilmente evaluados o que no cumpla las condiciones de L'Hospital de la regla.