Cuando es la imagen de un GNS representación WOT-densa?

Question

Dado un $C^*$-álgebra $A$, y en un estado de $\rho$$A$, vamos a $\pi_\rho$ la correspondiente GNS la representación en el espacio de Hilbert $H_\rho$. Me gustaría saber cuando la imagen de $\pi_\rho$ es WOT-denso en $B(H_\rho)$.

Es suficiente para suponer que el $\rho$ es un estado puro?

Answer 1

Ah, sí, esto es cierto. $\pi_\rho$ es irreducible si y sólo si $\rho$ es puro. Y una representación irreducible si y sólo si su rango es de SOT-denso, que por el Bicommutant teorema es equivalente a WOT-densidad.