Hamiltonianos con una constante de movimiento (además de la de Hamilton en sí)

Question

Es bien sabido que un Hamiltoniano del sistema con $n$ grados de libertad con $n$ constantes de movimiento es integrable. Mi pregunta es sobre el caso en el que sólo hay dos constantes de movimiento, siendo uno de ellos el de Hamilton $H$ sí mismo y el otro una función determinada, $J$:

$$\left\{H,J\right\}=0.$$

Libros (por ejemplo, el clásico de Arnold!) hacer sólo ejemplos y no proporcionan teoremas. Uno de los ejemplos es cuando $J$ es una conserva de impulso. En tales ejemplos, por medio de un adecuado canónica de la transformación, el Hamiltoniano es llevada a la forma:

$$H(p_1, q_1, \dots, p_{n-1}, q_{n-1}, P)\tag{1}$$

en que $J=P$. El resultado es que una variable es eliminado del sistema.

¿Alguien sabe si esto es un teorema? Y donde puedo encontrar la enunciación precisa y la prueba? (editado: la respuesta debe takle el problema desde el punto de vista global).

Creo que la forma de Eq. 1 no es general, es decir, creo que la presencia de un suplemento constante de movimiento no siempre conduce a una expresión similar a la ecuación. 1, salvo que algunas otras hipótesis es dado. Un contra-ejemplo es:

$$H(p_1, q_1, \dots, p_n, q_n) = H_a(p_1, q_1, \dots, p_m, q_m) + H_b(p_{m+1}, q_{m+1}, \dots, p_n, q_n)$$

donde $H_a$ e $H_b$ son dos Hamiltonianos con sólo una constante de movimiento de cada uno (es decir, $H_a$ e $H_b$). Claramente, $H_a$ es una constante de movimiento para $H$, pero $H$ no puede ser llevado a un formulario como en la ecuación.1.

Answer 1

La específica teorema de la que te refieres es el de Liouville-Arnold teorema donde un $n$-dimensiones Hamiltoniano del sistema con $n$ involutory constantes de movimiento es integrable. Personalmente, he encontrado que es bastante difícil de aplicar en la práctica, ya que por lo general sólo a los estados un hecho, pero no te da la receta sobre cómo encontrar el sistema explícito. El teorema de Frobenius es esencialmente una versión diferente en el campo de vectores nivel con generalizaciones a otros espacios topológicos. Hay uno para sistemas Hamiltonianos, o más bien simpléctica y de Poisson colectores.

Si usted está buscando para obtener más evidencia de por qué el Liouville-Arnold teorema de obras, echa un vistazo Marsden-Weinstein-Meyer reducción. Esencialmente, por una $2n$-dimensiones Hamiltoniano del sistema, usted puede quitar el doble el número de involutory constantes de movimiento. Así que decir que ha $n$ constantes de movimiento, entonces la $2n - (2)(n) = 0$. Un $0$-dimensiones del sistema se ha integrado completamente, de manera que está de acuerdo con Liouville-Arnold.

De pasar a su ejemplo específico donde $\{H,J\} = 0$, y, a continuación,

$$ H_{\text{nuevo}}(q_1, p_1, \cdots, q_{n-1}, p_{n-1}, J) $$

Tienes toda la razón en que esto no es general. Esto puede verse fácilmente mediante el recuento del número de variables. Hay un número impar, lo que significa que este sistema no es Hamiltoniano. Sin embargo, esto no significa que sea malo. Desde $\{J, H\} = 0$, a continuación, $\dot{J} = 0$ y por lo tanto no debería ser incluido en la dinámica de la dimensión del sistema. Es un parámetro arbitrario que afecta a cómo la dinámica de evolucionar, pero no es un estado en sí mismo.

Finalmente, para el contra-ejemplo donde $H = H_a(q_1, p_1, \cdots, q_m, p_m) + H_b(q_{m+1}, p_{m+1}, \cdots, q_n, p_n)$, usted tiene

$$ 0 = \{H_a, H_b\} $$

Esto es realmente fácil de mostrar a través de sólo mirar a lo que las coordenadas están involucrados, ya sea de Hamilton. El problema que tienes es que la canónica de transformación ha de tener lugar en las coordenadas específicas contenidas en la $H_i$ términos. Este ejemplo específico, con $H_a = J_a$ e $H_b = J_b$, podría ser algo como

$$ H_{\text{nuevo}}(q_1, n_1, \cdots, q_{m-1}, p_{m-1}, J_a, q_m, p_m, \cdots, q_{n-1}, p_{n-1}, J_b) $$

Yo, personalmente, prefiero escribir

$$ \begin{aligned} H_{\text{new}} : \mathbb{R}^{2(n-c)} \times \mathbb{R}^{c} &\rightarrow \mathbb{R} \\ (Q_1, P_1, \cdots, Q_{n-c}, P_{n-c}, J_1, \cdots, J_c) &\mapsto (\text{the actual function}) \end{aligned} $$

Donde $c$ es el número de $J$'s tienes. La primera línea en la ecuación indica que, sí, es cierto que tienen una dimensiones del sistema y por lo tanto, esta es la verdad de Hamilton desde $2(n-c)$ es siempre igual. También dice que tenemos $c$ arbitrario de parámetros. Su caso ha $c=2$, pero este debe contener cualquier número de $c$. La segunda línea nos dice que $q_i = Q_i$ e $p_i = P_i$ podría no ser necesariamente cierto, porque nuestra transformación podría haber sido muy complicado, en el que casi siempre lo son.

Answer 2

Deje que se dé una $2n$-dimensiones simpléctica colector $(M,\omega)$ con 2 funciones definidas globalmente $$H,J: M\to \mathbb{R},$$ tales que $$ \{H, J\}~=~0. $$ Entonces es un ejercicio fácil para probar las siguientes dos proposiciones.

• Proposición 1. Deje $p_n\!\equiv\! J$. Si no se da un abrir vecindario $U\subseteq M$ e $2n-1$ funciones $$q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_{n-1}:U \to \mathbb{R}$$ tal que $$(q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_{n-1}, p_n|_U),$$ es un local canónica/Darboux sistema de coordenadas, entonces $$\frac{\partial H}{\partial q^n}~=~0. $$

• Proposición 2. Deje $p_1\!\equiv\! H$ e $p_2\!\equiv\! J$. Dado un punto de ${\rm pt}\in M$. Si $$\mathrm{d}H({\rm pt})\wedge\mathrm{d}J({\rm pt})~\neq~ 0 ,$$ then (according to the Caratheodory–Jacobi–Lie theorem) there exists an open neighborhood $U\subseteq M$ of the point ${\rm pt}\in M$ and $2n-2$ funciones $$q^1,\ldots, q^n, p_3,\ldots, p_n:U \to \mathbb{R}$$ tal que $$(q^1,\ldots, q^n, p_1|_U,p_2|_U,p_3, \ldots, p_n),$$ es un local canónica/Darboux sistema de coordenadas.