La prueba de que $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}={\left(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}\right)}^{x}$?

Question

La cosa es que:

$$e^x=\displaystyle\sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{ x^n }{ n! }$$ $$e_1=\sqrt[ x ]{ \displaystyle\sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{ x^n }{ n! } }$$ y $$e^1=\displaystyle\sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{ 1^n }{ n! }$$ $$e_2=\displaystyle\sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{ 1 }{ n! }$$ Si comparamos estas dos expresiones, obtenemos $$e_1=e_2$$ que es igual a $$\sqrt[ x ]{ \displaystyle\sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{ x^n }{ n! } }=\displaystyle\sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{ 1 }{ n! }$$ $$\displaystyle\sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{ x^n }{ n! }=\left(\displaystyle\sum_{ n=0 }^{ \infty }\frac{ 1 }{ n! }\right)^x$$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que? Es probado ya?

Answer 1

En esta respuesta, se muestra que el uso de la definición $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$$ tenemos $$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$$ Por lo tanto, $$\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\right)^x=\left(e^1\right)^x=e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$$

Answer 2

Para cualquier $x,y \in \mathbb{R}$, la familia $(\frac{x^ny^m}{n!m!})$ indexados por $(n,m) \in \mathbb{N}^2$ es summable, por la reordenación de los términos obtenemos que :

$$\left(\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum_{m \in \mathbb{N}} \frac{y^m}{m.}\right) = \sum_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} \frac{x^n y^m}{n! m!} = \sum_{p \in \mathbb{N}} \left( \sum_{n+m=p} \frac{x^n y^m}{n! m!} \right) \\ = \sum_{p \in \mathbb{N}} \frac1{p!}\a la izquierda( \sum_{n+m=p} \binom p n x^n y^m \right) = \sum_{p \in \mathbb{N}} \frac{(x+y)^p}{p!}$$

Por lo tanto, la función de $\exp : x \mapsto \sum \frac{x^n}{n!}$ es un grupo de morfismos de$(\mathbb{R},+)$$(\mathbb{R}^*,*)$.
Pero también es continua, por lo que es un continuo de morfismos de $(\mathbb{R},+)$ $(\mathbb{R}_+^*,*)$

Ahora, la exponenciación $x^y$, se define generalmente en $(\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R})$ por la propiedad que forall $x \in \mathbb{R}_+^*$, la función de $y \mapsto x^y$ es el único continua de morfismos de $(\mathbb{R},+)$ $(\mathbb{R}_+^*,*)$tal que $x^1 = x$.
De hecho, para cualquier $x \in \mathbb{R}_+^*$, sólo hay una forma de definir a $x^n$ $n \in \mathbb{Z}$ que es un grupo de morfismos. Ya que para cualquier entero positivo $q$, el mapa de $x \mapsto x^q$ es un bijection de $\mathbb{R}_+^*$ a sí mismo, tenemos que definir $x^{p/q}$$(p/q) \in \mathbb{Q}$, que es el único número en $\mathbb{R}_+^*$ tal que $(x^{p/q})^q = x^p$. Y por último, asumiendo la función en $\mathbb{Q}$ que hemos definido hasta ahora es continuo, ya que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, sólo hay una manera de extender esto a un continuo de morfismos definidas en todos los de $\mathbb{R}$

Desde $\exp$ es un grupo continuo de morfismos el envío de $1$$\exp(1)$, se puede concluir que es el grupo continuo de morfismos el envío de $1$$\exp(1)$, es decir, podemos tomar $\exp(1)^y = \exp(y)$ como una definición de la $\exp(1)^y$.

Más en general, de cualquier $y \in \mathbb{R}$, $x \mapsto \exp(x)^y$ y $x \mapsto \exp(xy)$ son continuos grupo de morfismos el envío de $1$$\exp(y)$, por lo que tienen que coincidir.

Answer 3

Supongamos que trabajamos con las siguientes definiciones:

$Exp(x):=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ $e:=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}$ . Entonces, lo que quiero mostrar es que el $Exp(x)=e^x$ real $x$.

Para empezar es conveniente mostrar que $Exp(x+y)=Exp(x)Exp(y)$ cualquier $x,y\in \mathbb{R}$. Como se señaló en los comentarios esto se puede hacer usando el hecho de que el producto de cauchy de dos de la serie converge si uno de ellos es absolutamente convergente.

Por inducción se puede extender la fórmula, de modo que $Exp(x_1+…+x_n)=Exp(x_1)\dots Exp(x_n)$$n\in \mathbb{N}$$x_1,…,x_n \in\mathbb{R}$. (Intenta mostrar este).

En segundo lugar, observamos que las $Exp(1)=e$, y por lo tanto, por encima de ello se sigue que $Exp(n)=e^n$$n\in\mathbb{N}$.

Ahora el salto a mostrar esto para todos racional $q=m/n$ $m,n$ positivo no es muy grande, sólo se debe observar que el $Exp(q)^n=Exp(qn)=Exp(m)=e^m$ $m,n\in\mathbb{N}$ y, por tanto,$Exp(q)=(e^m)^{1/n}$. Si definimos $a^q=(a^m)^{1/n}$$q\in\mathbb{Q}$, entonces hemos demostrado que $Exp(q)=e^q$$q\in\mathbb{Q^+}$. En tercer lugar podemos extender este resultado a todos los de $\mathbb{Q}$ señalando que $Exp(x)Exp(-x)=Exp(x-x)=Exp(0)=1$$x\in\mathbb{R}$.

Queda por demostrar su igualdad para todos los verdaderos $x$. Si definimos la exponenciación por un número real arbitrario $y$ por los siguientes: $$a^y:=sup\space a^q$$ where the supremum is taken over all rational $q$ less than $s$, then we can quite smoothly show your equality. To do that we first have to establish that $Exp(x)$ es continua y monótona en el eje real. (Se los dejo para que hagan eso ).

Por último tenemos a $$Exp(x)=sup_{q<x}\space Exp(q)=sup_{q<x}\space e^q=e^x$$

donde la primera igualdad de la siguiente manera por la continuidad y monotonía de $Exp(x)$ y la segunda igualdad de la siguiente manera por los resultados establecidos anteriormente. La última igualdad se sigue por la forma en que hemos definido la exponenciación de $x\in\mathbb{R}$

Por favor, hágamelo saber si usted me quiere a aclarar nada. He de añadir también que lo que he escrito arriba se parece mucho a la forma de exposición Bebé Rudin, por lo que está muy lejos de la original. En caso de que usted no tiene el libro, puede ser útil.