evaluar el último dígito de la $7^{7^{7^{7^{7}}}}$

Question

He encontrado este rompecabezas en línea. Ya que yo no soy bueno en el número teórico de la clase de problemas a los que me voy a proponer en este formulario. Si usted tiene un número de $x$, en este caso $x=7$, ¿cómo evalúa el último dígito de la $$ x^{x^{x^{x^{x}}}} $$ where the number of powers may be $4$ (en este caso) o cualquier otro, posiblemente pequeño número.

Answer 1

Para cualquier $x$ en general (como usted lo pidió), el método es similar.

En primer lugar, vamos a corregir algunas anotaciones: escribir $7^{7^{7^{7^7}}}$$7 {\uparrow\uparrow} 5$, y de manera similar a una torre de $k$ $x$'s como $x {\uparrow\uparrow} k$. (Esta operación se denomina tetration.)

Encontrar el último dígito de la $x{\uparrow\uparrow}k$ es lo mismo que encontrar su valor de $\bmod 10$. Empezar a buscar en los poderes de la $x$ mod 10: esta secuencia siempre será periódica (con algún período en la mayoría de las $4$, que resulta). Dicen que es periódica con período de $m$. En otras palabras, el valor de $x^n$ está totalmente determinado por el valor de $n \bmod m$.

Así que ahora el problema es el de encontrar el valor de $x{\uparrow\uparrow}(k-1) \bmod m$. De nuevo, hacer la misma cosa. Mira poderes de $x$ mod $m$, que será periódica con un periodo de tiempo, y se desea determinar el valor de $x{\uparrow\uparrow}(k-2)$ modulo de ese período. Finalmente el problema se vuelve bastante fácil, y puede dejar de hacerlo.

Para su $7 {\uparrow\uparrow} 5$ ejemplo, los poderes de la $7$ son periódicas $\bmod 10$ periodo $4$. Así que usted quiere determinar $7 {\uparrow\uparrow} 4 \bmod 4$. Los poderes de la $7$ son periódicas $\bmod 4$ periodo $2$. Así que usted quiere determinar $7 {\uparrow\uparrow} 3 \bmod 2$. Los poderes de la $7 \bmod 2$ son periódicas con período de $1$: poder de $7$ siempre $1$. Ahora que está hecho: la cumplimentación de los valores hacia atrás, $7 {\uparrow\uparrow} 3 \equiv 1 \mod 2$, lo $7 {\uparrow\uparrow} 4 \equiv 3 \mod 4$, lo $7 {\uparrow\uparrow} 5 \equiv 3 \mod 10$.

Tanto el valor del módulo y el segundo argumento de la tetration disminuyen en cada paso, por lo que este método está siempre garantizada a terminar pronto. El mismo método funciona para la última $r$ dígitos ( $x{\uparrow\uparrow}k \bmod 10^r$ ), otras bases, etc.

Answer 2

Una gran sugerencia: los poderes de la $7$, $7^x$, son periódicas mod $10$; desde $7^4 \equiv 1 \pmod{10}$ cada $4$th poder de $7$ va a terminar en el mismo dígito; esto significa que usted sólo tiene que averiguar lo $7^{7^{7^7}}$ mod $4$. Y desde $7^2 \equiv 1 \pmod{4}$, cada segundo poder de la 7 va a ser el mismo mod $4$; por lo que sólo necesita saber lo $7^{7^7}$ mod $2$. Y usted probablemente puede adivinar que... :-)