Mostrar que $G$ es un grupo en $*$

Question

Deje $G$ el conjunto de los números racionales $x$ $x \neq\frac{-1}{2}.$ $x, y ∈ G$ definir $$x ∗ y = 2xy + x + y.$$

Mostrar que $G$ es un grupo en $*$.

Sé cómo demostrar que la asociatividad tiene y que la identidad de $e$ es cero. Sin embargo, yo estoy luchando para demostrar que el grupo es cerrado bajo de tomar la recíproca.

Yo sé que tengo que demostrar que existe un elemento $x^{-1}$, de modo que $x*x^{-1}=0.$ esto nos lleva a $$2xx^{-1}+x+x^{-1}=0$$

¿Qué debo hacer a continuación?

Answer 1

Considerar el mapa de $\phi: G \to \mathbb Q^*$$\phi(x)=1+2x$.

La operación $*$ $G$ es sólo el retroceso de la multiplicación ordinaria en $\mathbb Q^*$: $$ x * y = \phi^{-1}(\phi(x)\phi(y)) $$

Por lo tanto, $(G,*)$ es un grupo isomorfo a $\mathbb Q^*$.

En particular, la inversa de a $x \in G$ con respecto al $*$$\phi^{-1}(\phi(x)^{-1}))=\phi^{-1}\left(\dfrac{1}{1+2x}\right)=\dfrac{-x}{1+2x}$.

Answer 2

Usted puede resolver este a ver que

$$x^{-1}=\frac{-x}{2x+1}$$

que es válida porque la $x\neq\frac{-1}{2}$.