Si $Ax=B$ tiene dos soluciones, entonces debe haber una tercera?

Question

¿Cómo puedo probar esta conjetura?

Deje $A$ ser una matriz, y $B$ ser una columna de vectore. Si $Ax=B$ tiene dos soluciones, entonces debe haber una tercera.

Gracias en adelantado!

Answer 1

Sugerencia: ¿Cómo podría usted linealmente combinar dos soluciones para hacer que un tercero?

Answer 2

Supongamos $x_1$ $x_2$ son dos (diferentes) de las soluciones, es decir,$Ax_1=B,Ax_2=B$. A continuación,$A(x_2-x_1)=0$. Deje $r$ ser la nulidad de $A$ $y_1,\cdots,y_r$ soluciones linealmente independientes de a $Ay=0$. Entonces $$ x=x_1+c_1y_1+\cdots+c_ry_r $$ es la solución general de la $Ax=B$. Por lo tanto, hay una cantidad infinita de soluciones (por supuesto, hay una tercera).

Answer 3

Usted puede hacer incluso mejor que eso, suponiendo que el campo es infinito. Supongamos que $Ax_1=b$ $Ax_2=b$ donde $x_1\ne x_2$. Ahora, para cualquier $t$ en su campo escalar, definir $y_t:=tx_1+(1-t)x_2$. Ahora, $y_1=x_1$$y_0=x_2$, y, en general, para $s\ne t$ tenemos $y_s\ne y_t$ (żpor qué?). ¿Qué es $Ay_t$? De esta manera, vemos que tenemos infinitamente muchas soluciones, siempre que el campo escalar es infinito.