(a) Supongamos que $A \subset [a,b]$ y que existe una partición $P$ de $[a,b]$ tal que $c_e(A;P)<\eta$ . Demostrar que existe $\delta>0$ tal que, si $Q$ es una partición donde $|Q|<\delta$ así que $c_e(A;Q)<\eta$
(b)Supongamos que $A \subset [a,b]$ y que existe una partición $P$ de $[a,b]$ tal que $c_i(A;P)>\eta$ . Demostrar que existe $\delta>0$ tal que, si $Q$ es una partición donde $|Q|<\delta$ Así que $c_i(A;Q)>\eta$ .
(c) Demuestre que, si $A\subset [a,b]$ y $\{P_m\}$ son una secuencia de particiones de $[a,b]$ tal que $|P_m| \rightarrow 0$ Así que $$c_e(A)=\lim_{n\rightarrow+\infty}{c_e(A;P_m)}$$$$ c_i(A)= \lim_ {n \rightarrow + \infty }{c_i(A;P_m)} $$ (d) Show that: $$ c_e(A)=c_i(A)+c_e( \partial A)$$
DEFINICIONES E INFORMACIÓN ADICIONAL
Def.0: $P$ una partición, por lo que $|P|=\max\{x_{i+1}-x_i: x_i, x_{i+1}\in P\}$
Def.1: $A \subset [a,b]$ es una despreciable si, para todo $\varepsilon>0$ existe la partición $P=\{x_0,...,x_n\}$ de $[a,b]$ tal que $\sum_P^*\Delta x_i<\varepsilon$ donde esta suma es sobre los índices tales que $A \cap [x_{i-1},x_i] \neq \emptyset$
Se desprende de un ejercicio en clase que: $A\subset[a,b]$ es despreciable es lo mismo que afirmar que: para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que, para toda partición $Q$ donde $|Q|<\delta$ tenemos $$\sum_{Q}^* \Delta x_i<\varepsilon$$ , donde $\sum^*_Q$ denotan la suma sobre los índices tales que $A \cap [x_{i-1},x_i] \neq \emptyset$
En este ejercicio generalizaremos este resultado.
Def.2: $c_e(A;P)\dot{=}\sum_{I_k \cap A \neq \emptyset} c(I_k)=\sum_P^* \Delta x_i$
Def.3: $c_e(A)=\inf\{c_e(A;P):P\in\textrm{Part}([a,b])\}$
Def.4: $c_i(A;P)\dot{=}\sum_{I_k \subset A} c(I_k)$
Def.5: $c_i(A)=\lim_{n\rightarrow+\infty}{c_i(A;P_m)}$
Obs.: Estoy usando eso: $P=\{x_0,...,x_n\}$ y $Q=\{y_0,...,y_m\}$ .
COMENTARIOS : Este es un ejercicio largo de mi curso o Medida e Integración. Lo he hecho pero tengo miedo de ser demasiado informal en algún aspecto. Necesito que alguien mire mi respuesta (especialmente el punto d) y me ayude a escribir más claramente mi razonamiento y corregir cualquier posible error, siento que esta mal.
MI INTENTO
(a) Sea $0<\delta<|P|$ , $|Q|<\delta$ , $Q=\{y_0,...,y_m\}$ y definir: $$ \Lambda_1= \{ i \in \{1,...,m\}: [y_{i-1}, y_i] \subset [x_{j-1}, x_j] \textrm{ for some } j\in \{1,...,n\} \} $$ $$ \Lambda_2= \{ i \in \{1,...,m\}: [y_{i-1}, y_i] \cap \{x_{j-1}, x_j\} \textrm{ for some } j\in\{1,...,n\} \neq \emptyset\} $$ Así que, $$ c_e(A;Q)=\sum_{I_{k'} \cap A \neq \emptyset} c(I_{k'})=\sum_Q^* \Delta y_i=\sum_{\Lambda_1}^* \Delta y_i+\sum_{\Lambda_2}^* \Delta y_i $$ Definir, $$ \Lambda^1_1= \{ i \in \{1,...,n\}: [y_{j-1}, y_j] \subset [x_{i-1}, x_i] \textrm{ for some } j\in \{1,...,m\} \} $$ $$ \Lambda^1_2= \{ i \in \{1,...,n\}: [y_{j-1}, y_j] \cap \{x_{i-1}, x_i\} \textrm{ for some } j\in\{1,...,m\} \neq \emptyset\} $$ Así que, $$ c_e(A;P)=\sum_{I_{k} \cap A \neq \emptyset} c(I_{k})=\sum_P^* \Delta y_i=\sum_{\Lambda_1^1}^* \Delta y_i+\sum_{\Lambda_2^1}^* \Delta y_i $$ Tenga en cuenta que: $$ \sum_{\Lambda_1}^* \Delta y_i <\sum_{\Lambda_1^1}^* \Delta y_i $$ porque cada $[y_{j-1},y_j] \subset [y_{i-1},y_i]$ y $$ \sum_{\Lambda_2}^* \Delta y_i <\sum_{\Lambda_1^2}^* \Delta y_i $$ porque $|Q|<\delta$ . Así que, $c_e(A,Q)<c_e(A,P)=\eta$
(b)Que $0<\delta<|P|$ , $|Q|<\delta$ , $Q=\{y_0,...,y_m\}$ . Como $\{ \bigcup [x_{i-1}, x_i]: [x_{i-1}, x_i] \subset A\} \subset \{ \bigcup [y_{j-1}, y_j]: [y_{j-1}, y_j] \subset A\}$ se deduce que $$ \eta<c_i(A;P)<c_i(A;Q) $$ (c) Obsérvese que, para toda partición $P$ tal que $\eta>c_e(A;P)>0$ dejemos $|P|>\delta>0$ y $0<|Q|<\delta \Rightarrow c_e(A,Q)<\eta$ y utilizando "a)", $c_e(A;Q)<\eta$ . Así que podemos escribir que $P_m$ con $|P_m| \rightarrow 0$ existe la subsecuencia $P_{i_k}$ tal que para todo $i_k$ $$ c_e(P_{ik})>c_e(P_{i_k+1}) $$ Así que, $ \lim_{n\rightarrow+\infty}{c_e(A,P_m)}=\inf\{c_e(A;P):P\in\textrm{Part}([a,b])\}=c_e(A)$
Ahora observe que, utilizando "(b)", para toda partición $P$ tal que $c_i(A;P)>\eta>0$ , dejemos que $|P|>\delta>0$ y $0<|Q|<\delta \Rightarrow c_i(A,Q)>\eta$ . Así que podemos escribir que $P_m$ donde $|P_m| \rightarrow 0$ existe la subsecuencia $P_{i_k}$ tal que para todo $i_k$ $$ c_i(P_{ik})<c_i(P_{i_k+1}) $$ Así que, $ \lim_{n\rightarrow+\infty}{c_i(A,P_m)}=\sup\{c_e(A;P):P\in\textrm{Part}([a,b])\}=c_i(A)$
(d) $$ c_e(A)-c_e(\partial A)=\lim_{n\rightarrow +\infty}{c_e(A;P_m)}-\lim_{n \rightarrow +\infty}c_e(\partial A;P_m)=$$ $$ =\lim_{n\rightarrow+\infty}{c_e(A \backslash \partial A;P_m)}=\lim_{n\rightarrow+\infty} c_i(A,P_m)=c_i(A) $$
