Un problema simple. ¿Qué estoy haciendo mal?

Question

Estoy totalmente nueva a la probabilidad y estoy un poco confundido. Tengo las siguientes tareas:

Un gran grupo de personas que compiten por todos los gastos pagados los fines de semana en Filadelfia. El Maestro de Ceremonias da a cada participante un bien baraja od tarjetas. El concursante reparte dos cartas de la parte superior de la cubierta, y gana un fin de semana si la primera carta es un as de corazones o la segunda tarjeta es el rey de los corazones. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el fin de semana?

Traté de resolver este ejercicio en tres formas:

1. El uso de $P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)$. Puedo obtener:$$\frac{1}{52} + \frac{1}{52} - \frac{1}{52}×\frac{1}{51} = \frac{101}{51×52}.$$
2. El uso de $P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A^c)$. Puedo obtener:$$\frac{1}{52} + \frac{1}{52}×\frac{50}{51} = \frac{101}{51×52}.$$
3. Utilizando la fórmula $P(A) = 1 - P(A^c)$ donde el contrario no es llegar el as de corazones, como la primera tarjeta y no llegar el rey de corazones en la segunda tarjeta. De esta manera puedo obtener:$$1 - \frac{51}{52}×\frac{50}{51} = \frac{2}{52} \ne \frac{101}{51×52}.$$

¿Qué estoy haciendo mal en la tercera vía? Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

El problema con el cálculo en el #3 es que no cuenta la posibilidad de que la primera carta fue el rey de los corazones.

Answer 2

En la tercera forma, la fórmula es ($A-$ as de corazones, $B-$ rey de corazones): $$P(A\cup B)=1-P(A^C\cap B^C)=1-\frac{51}{52}\cdot \color{red}{\frac{50}{51}},$$ sin embargo, el evento de $B^C$ depende del evento a $A^C$. En otras palabras, supone la primera tarjeta no es el rey de los corazones, sin embargo: $$P(B_2^C|B_1)=1; P(B_2^C|B_1^C)=\frac{1}{51}.$$

Probabilidad diagrama de árbol ($A'=A^C$):

$\hspace{1cm}$

$A$B\cup B'=S;'\cap S=A';\\ P(a'\cap B')=P(\color{blue}{(A'\cap B\cup B'))}\cap \color{verde}{B'})=\\ P(\color{blue} {(['\cap B]\copa ['\cap B'])}\cap \color{verde}{B'})=\\ P(\{\color{blue}{[A'\cap B]}\cap \color{verde}{B'}\}\cup \{\color{blue}{[A'\cap B'])}\cap \color{verde}{B'}\})=\\ P(\color{blue}{[A'\cap B]}\cap \color{verde}{B'})+P(\color{blue}{[A'\cap B'])}\cap \color{verde}{B'})=\\ \frac{1}{52}\cdot \frac{51}{51}+\frac{50}{52}\cdot \frac{50}{51}.$$ Nota: Los eventos en color azul son los primeros de la tarjeta, mientras que en color verde son la segunda tarjeta. Pueden ser diferenciados por los correspondientes índices (subíndices) como la etiqueta de Graham Kemp en su comentario.

Por lo tanto: $$\begin{align}P(A\cup B)&=1-P(A'\cap B')=\\ &=1-\left(\frac{1}{52}\cdot \frac{51}{51}+\frac{50}{52}\cdot \frac{50}{51}\right)=\\ &=\frac{101}{51\cdot 52}.\end{align}$$