La respuesta corta es que hay que trabajar con densidades de partículas, es decir, $$n=N/V,$$ donde $N$ es el número de partículas, y $V$ es el volumen de su sistema.
La respuesta larga es la siguiente.
Trabajar en el conjunto termodinámico con un potencial químico fijo $\mu$ y sabiendo que la distribución de Bose-Einstein da la densidad numérica media de sin condensación partículas $$n_{nc} = \frac{1}{V} \sum_{\boldsymbol k\neq 0}\frac{1}{\exp(\beta [\hbar^2 \boldsymbol k^2/2m - \mu])-1},$$ donde $\beta = 1/k_B T$ es la temperatura inversa, $k_B$ es el coeficiente de Boltzmann, $m$ es la masa de las partículas, y $\hbar\boldsymbol k$ es el momento. Fijación de la temperatura $T$ y el número de partículas excitadas $n_{nc}$ permite encontrar el potencial químico para la situación en cuestión. Hay que tener en cuenta que $\mu = - \infty$ da una densidad de partículas muy pequeña, que aumenta con el incremento de $\mu$ .
Sin embargo, el hecho de requerir una temperatura lo suficientemente baja en combinación con una densidad lo suficientemente alta, plantea un problema. En concreto, satisfacer la ecuación significa que el potencial químico tiene que ser positivo. Esto significa que algún modo de bajo impulso está ocupado negativamente, como $$\frac{1}{\exp(-\beta\mu)-1}\simeq \frac{1}{-\beta\mu},$$ para los pequeños $\beta\mu$ . Por lo tanto, concluimos que los positivos $\mu$ no están permitidos.
Esta paradoja se resuelve al darse cuenta de que la fórmula correcta para el total número de partículas es en realidad $$n = n_0 + n_{nc}.$$ Por lo tanto, si después de fijar el número total de partículas $n$ y la temperatura $T$ se ve que $n_{nc}$ con $\mu=0$ sigue siendo inferior a $n$ hay que concluir que el resto de las partículas residen en el condensado, y por lo tanto $n_0\neq 0$ .
Todo esto es un conocimiento estándar de los libros de texto. Se desarrolla, por ejemplo, en el libro Condensación de Bose-Einstein en gases diluidos por Pethick y Smith.
