¿Qué $dx$ significa que en una integral de Lebesgue?

Question

Esta es una introducción de Lebesgue la integral de funciones simples en Carothers' Análisis Real.

Decimos que una función simple $\phi$ es Lebesgue integrable si el conjunto de {$\phi$ $\ne$ 0} tiene medida finita. En este caso, podemos escribir el estándar de representación de $\phi$ $\phi = \sum_{i=0}^{n} a_i \chi_{A_i}$ donde $a_0 = 0, a_1, .., a_n$ son distintos los números reales, donde $A_0 = \{\phi = 0\}, A_1, ..., A_n$ son disjuntos a pares y medibles, y donde sólo se $A_0$ tiene medida infinita, una Vez $\phi$ está escrito, es evidente que existe una definición para $\int \phi$, es decir, $$\int \phi = \int_{\mathbb R} \phi = \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x) dx = \sum_{i=1}^{n} a_i m(A_i)$$.

Me he dado cuenta de que la wikipedia la definición de la integral de Lebesgue(ver aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_integrationlos usos de)$d\mu$. Entonces, ¿Qué $dx$ o $d\mu$ significa en la integral de Lebesgue?

Actualización:

Creo que no es exactamente un duplicado de una coz no me refiero a usar $d\mu$ en lugar de $dx$. Antes de que mi escribir esta pregunta, he leído Rodyen del Análisis Real, 3ª y él también usa $dx$ en la integral de Lebesgue así. $d\mu$ es sólo de wikipedia. Tengo esta pregunta en este mes de Mayo cuando estaba leyendo Caorthers libro y durante ese tiempo, me trataban como un conjunto de símbolos y de ser igual a una fórmula fija -- $\sum_{i=1}^{n}a_i m(A_i)$. Y luego, cuando yo estaba tratando de resolver algunos problemas con este símbolo en la integral de Lebesgue, me sentía raro por un buen rato, recordando la definición de la integral de la definición y, a continuación, se dio cuenta de "oh, hombre, no es la integral de Riemann".

Answer 1

El significado de la $dx$ en una integral de Lebesgue, o cualquier otra integral, depende de la estructura extendida en el que la teoría se encuentra. Si usted está trabajando en un marco en que la medida es el enfoque principal, donde hay una amplia clase de posibles medidas, por ejemplo en una variedad diferenciable o en un topológicos, espacios vectoriales, o algo más exótico, entonces el $dx$ tendría que ser sustituido por $d\mu$ a indicar que la medida que está hablando. Si estás hablando de la medida estándar en un espacio Cartesiano $\mathbb{R}^n$, $dx$ es adecuado. El $x$ sirve entonces como una variable ficticia (o "ligado a la variable" en la lógica matemática), de modo que usted puede usar las funciones en línea como integrands. Por ejemplo,$\int x^2\,dx$. Si la medida es variable, puede ser que como algo parecido a $\int x^2\,d\mu(x)$, lo que indica que la elección de la medida y también la variable ficticia.

En el marco de formas diferenciales, el $dx$ tiene un significado diferente. Pero eso es otra hervidor de pescado.

En realidad, la integración de la teoría se ha distanciado de muchas maneras, las notaciones de los siglos 17 y 18 no son suficientes. La "generalización de los empujes" de la integración de la teoría son las siguientes.

1. La generalización de Riemann integrable a muy general tipos de funciones.
2. La generalización de la clase de conjuntos medibles para una máxima clase que herede de la Borel medible conjuntos.
3. La generalización de la medida de la norma invariable de la medida en $\mathbb{R}^n$ a axiomáticamente definidos de forma muy general las medidas.
4. La generalización de los verdaderos valores de las funciones a las distribuciones tales como el Radón medidas, distribuciones de Schwartz, Stieltjes integrales, etc.
5. La generalización de medidas de volumen a la superficie de medidas, que implican tal vez formas diferenciales, por ejemplo, como en el teorema de Stokes.
6. La generalización fraccional de dimensiones medidas, como Carathéodory medidas, medidas de Hausdorff etc.
7. La generalización de muy discontinua dominio de conjuntos, como en la teoría geométrica de la medida.
8. La generalización de infinitas dimensiones de los espacios, y los espacios que no son espacios vectoriales.

En estos generalizada marcos, el tradicional notaciones para las integrales buscar más y más y más inadecuado para describir lo que la integral es. Así que lo que estoy diciendo es que el problema es mucho más grande que usted describe. La integral de la notación es sólo una abreviatura, y usted tiene que llenar los detalles a través de la lectura del contexto. I. e todas las notaciones son incorrectos o inexactos o incompletos. Y la medida de la imprecisión o ambigüedad es mayor en el más generalizado de los marcos.

Answer 2

Me respondió a una pregunta relacionada aquí.

Al menos, $dx$ es una variable protectora. La integral de la $\displaystyle\int_{\mathbb R} f(x,y)\, d\mu(x)$ se une la variable $x$ y sale a $y$ libre, por lo que el que el valor de la expresión depende del valor de $y$, pero no en cualquier valor de cualquier cosa llamada $x$.

Answer 3

La notación $dx$ utilizado para la integración en la línea es una abreviatura para $d\mu(x)$ donde $\mu$ aquí denota la medida de Lebesgue. Es universalmente observado convenio para $\mathbb{R}$ o $\mathbb{R^d}$.