¿Qué transformaciones preservar el von Mises de distribución?

Question

El von Mises distribución está totalmente definido en el círculo con una densidad dada por $$f(x) = (2\,\pi\, I_0(\kappa))^{-1} \exp(\kappa \cos(x-\mu))\ ,$$ donde $x$ es arbitrario real intervalo de longitud $2\pi$, $I_0$ es el de Bessel-I la función de orden 0, $\mu$ es un parámetro de localización, y $\kappa>0$ a una concentración del parámetro.

Mi pregunta es: ¿Qué transformaciones de una de von Mises variable aleatoria preservar la distribución de la familia?

Ligeramente, la versión simplificada de esta pregunta (teniendo en cuenta un importante caso especial) puede ser reformulada de la siguiente manera: hay un bijective función (definida en el círculo) $T$ $\kappa>0$ problemas $$(I_0(1))^{-1}\, \left|T'(x)\right|\, \exp(\cos(T(x))) = (I_0(\kappa))^{-1} \exp(\kappa \cdot \cos(x))\ ,$$

La respuesta es fácil para $\kappa=1$, debido a $T$ podría ser elegida como la identidad, un simple cambio, o una reflexión, por Lo tanto, estoy interesado si esto puede ser solucionado al $\kappa\neq 1$. Por desgracia, yo no soy consciente de si existen resultados disponibles sobre este tema.

Este es un crosspost de Mathoverflow.

Answer 1

Obviamente $\mu$ es un parámetro de localización, lo que significa que las traducciones de la variable a mantener a la familia.

Centramos ahora en la forma de parámetros $\kappa$. Considere la posibilidad de cualquier familia $\Omega=\{F_\theta|\theta\in\Theta\}$ continuo de las distribuciones. En virtud de esta continuidad, siempre que $X\sim F_\theta$$0\le q\le 1$,

$$\Pr(F_\theta(X)\le q) = q.$$

La transformación

$$G_{\theta^\prime,\theta}(X) = F_{\theta^\prime}^{-1}(F_\theta(X))$$

los mapas de cualquier variable aleatoria en $Y = G_{\theta^\prime,\theta}(X)$ y

$$\Pr(Y \le y) = \Pr(F_{\theta^\prime}^{-1}(F_\theta(X)) \le y) = \Pr(F_\theta(X) \le F_{\theta^\prime}(y))=F_{\theta^\prime}(y)$$

muestra que $Y \sim F_{\theta^\prime}.$

La pregunta, entonces, es si la familia $\{G_{\theta^\prime,\theta}| \theta\in\Theta, \theta^\prime\in\Theta\}$ es cerrado bajo la composición. La sospecha de que no debe de ser por la forma de la familia de los Von Mises distribución ( $\mu=0$ $\theta=\kappa$ ), me numéricamente buscado una solución a $(\alpha,\beta)$ a de la ecuación

$$ G_{\alpha,\beta} = G_{2,1} \circ G_{1/2,1}$$

mediante la minimización de la $L^2$ norma entre los dos lados. La diferencia entre la mejor solución (con $\alpha=2.96234\ldots$$\beta = 2.48773\ldots$) y el lado derecho es pequeña pero claro que dudo que hubo un error en el cálculo.

En consecuencia, la respuesta a la pregunta es: ¿como se entiende en el sentido descrito aquí ... parece ser que sólo las traducciones (modulo $2\pi$) y, por supuesto, los reflejos $x\to a-x \mod 2\pi$ preservar a toda la familia de Von Mises distribuciones.