La Expansión en Series de a $n=\infty$ $\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

Question

Mirando a esta pregunta, me preguntó Wolfram y consiguió una Expansión de la Serie en $n=\infty$ $\displaystyle \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ como $\displaystyle \left({n^{-1/2}} -\frac{n^{-3/2}}{8}+\frac{n^{-5/2}}{128}-\frac{5n^{-7/2}}{1024}+\frac{21n^{-9/2}}{32768} -\frac{399n^{-11/2}}{262144}+O(n^{-13/2})\right) \pi^{-1/2} $.

¿Alguien puede explicar esto? Donde estas racional de los coeficientes?

EDIT2: Ellos no parecen seguir una recta hacia adelante patrón:

$\displaystyle \frac{1}{1},-\frac{1}{2^3},\frac{1}{4\times 2^5},-\frac{5}{2^3\times2^7},\frac{21}{2^6\times 2^9},-\frac{399}{2^7\times 2^{11}},\dots$. Hay un ormula cerrada para ellos?

EDIT: Ya que este es el trato con el entero $n$, he quitado el $\cos(2n\pi)$ parte, en el exponente de $2/\pi$. Y además, ¿no sería este dar otro límite en el vinculado pregunta, como $ \sqrt{\frac{1}{\pi n} } $?

Answer 1

Arce dice que la definición de doble factorial $n!!$ es: $$ \mathrm{doublefactorial}(n)=2^{n/2} (2/\pi)^{1/4-1/4 \cos(\pi n)} (n/2)!, $$ y parece que Mathematica es el uso de este así.

agregó

Por lo tanto, si $n$ es un entero par, $$ n!! = 2^{n/2} \biggl(\frac{n}{2}\biggr)! $$ y si $n$ es un entero impar, $$ n!! = 2^{(n+1)/2} \sqrt{\frac{1}{\pi}} \biggl(\frac{n}{2}\biggr)! $$ y por supuesto factorial de no-entero se hace en términos de la función Gamma. Ahora, dividir y hacer asymptotics de acuerdo a la fórmula de Stirling, para obtener $$\begin{align} &\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{1}{\sqrt{\pi}\;n!} \Bigl(n - \frac{1}{2}\Bigr)! \\ &\qquad= \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{n}} - \frac{1}{8 \sqrt{\pi} n^{3/2}} + \frac{1}{128 \sqrt{\pi} n^{5/2}} + \frac{5}{1024 \sqrt{\pi} n^{7/2}} - \frac{21}{32768 \sqrt{\pi} n^{9/2}} + O \Biggl(n^{-11/2}\Biggr) \end{align} $$ No hay una simple explicación para estos coeficientes. Los coeficientes en la fórmula de Stirling involucrar a los números de Bernoulli. Y este es el cociente de dos asintótica de la serie, realizado por la división larga.