Voy a examinar en detalle lo que significa que a partir de un ejemplo.
Un elemento en $\mathbf Z_p$ es formalmente una secuencia $(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots)$, donde cada una de las $x_n\in\mathbf Z/p^n\mathbf Z$, satisfacer la condición de que el canónica de la imagen de $x_n\in \mathbf Z/p^n\mathbf Z$$\mathbf Z/p^{n-1}\mathbf Z$$x_{n-1}$.
Primero considere el $x_1\in\mathbf Z/p\mathbf Z$: esta congruencia de la clase es representada por un número entero $a_0\in\{0,1,\dots,p-1\}$.
La próxima $x_2\in\mathbf Z/p^2\mathbf Z$: está representada por un número entero en $\{0,\dots,p-1,p,\dots,p^2-1\}$, lo que podemos escribir, por Euclidiana división, $y_2p+r_2, \enspace 0\le r_2<p-1$. Como $\phi_2(x_2)=x_1$, esto implica $r_2=a_0$, y cualquiera de los dos valores de $y_2p$ son congruentes modulo $p^2$, por lo tanto cualquiera de los dos valores de $y_2$ son congruentes modulo $p$. Por lo tanto $y_2$ tiene un único representante de $a_1$$\{0,\dots, p-1\}$, e $x_2$ es representado por el número entero:
$$a_0+a_1p,\quad 0\le a_0,a_1\le p-1.$$
Más generaally, fácil de inducción muestra que el es $x_n\in\mathbf Z/p^n\mathbf Z$ representado por el número entero
$$\sum_{i=0}^{n-1}a_ip^i,\quad 0\le a_0,a_1,\dots, a_{i-1}\le p-1,$$
y el $p$-ádico entero $x$ está representada la serie infinita:
$$x=\sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i,\quad \forall i,\;0\le a_i\le p-1.$$
Esto es algo así como la infinita expansión decimal de un número real, pero en la otra dirección. Por supuesto, no es convergente por la costumbre de la topología inducida por $\mathbf R$, pero para la métrica se deduce de las $p$-ádico de valoración.
