Finito rango de operadores en espacios de Hilbert

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert.

Pregunta 1: Son todos los de rango uno de los operadores de $H$ a $H$ es de la forma $$T:H\rightarrow H, x \mapsto \langle x,u\rangle v $$ Para algunos $u,v \in H$.

Pregunta 2: Supongamos $I \subseteq L(H)$ es un ideal y contiene todo el rango de uno de los operadores, ¿cómo podemos mostrar que contiene todas las finito rango de los operadores?

Estas dos afirmaciones parecen ser verdad, pero no pude encontrar ninguna referencia.

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Después de un poco de pensamiento: Fijemos base ortonormales $\{u_i\}$ de $H$. Tenemos dos observaciones:

1. Operador $T^*$ existe. Así $$ Tx = \sum \langle Tx , u_i \rangle u_i = \sum \langle x, T^*u_i \rangle u_i $$

2. $$x \mapsto \langle x,v \rangle w$$ son clasificar a una si $v \not=0, w \not= 0$.

3. La combinación de los dos anteriores, $T$ es el rango que uno si y sólo si es de la forma $x \mapsto \langle x,v \rangle w $.

4. Cualquier finito rango del operador, debe ser de nuevo de la forma $\sum_j \langle x, v_j \rangle w_j$ finito (suma). Estos son generados por el rango de uno de los operadores.

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Yo sería feliz si alguien punto algunas de las posibles trampas / error que cometí en mi prueba.

Answer 1

Yo no veo cómo se combina la 1 y la 2 para obtener ese $T$ es de la forma deseada, cuando es de rango uno, así que no puedo comentar sobre eso. Yo también no veo cómo usted razón en 4.

Si $T$ es el rango que uno, entonces existe un fijo $y\in H$ con $\|y\|=1$ tal que $Tx=\lambda(x)\,y$ para todos los $x$. De $y\ne0$ se obtiene que el número de $\lambda(x)$ es único para cada una de las $x$. Ahora uso la linealidad de $T$ a deducir que $\lambda $ es lineal. También, $$ |\lambda(x)|=\|\lambda(x)y\|=\|Tx\|\leq\|T\|\,\|x\|. $$ Por lo $\lambda$ es un delimitada lineal funcional. Por la Representación de Riesz Teorema, existe $z\in H$ con $\lambda(x)=\langle x,z\rangle$. Así $$ Tx=\langle x,z\rangle y. $$

Cuando $T$ es finito-rango, puede repetir la anterior pero, en lugar de una sola $y$, ahora tendrá una base ortonormales $y_1,\ldots,y_n$ y delimitada lineal funcionales $\lambda_j$.