Ecuación de logaritmos simples

Question

$$3^x = 3 - x$$

Tengo que demostrar que sólo existe una solución, y luego encontrar esa única solución.

Mi enfoque ha sido el siguiente:

$$\log 3^x = \log (3 - x)$$

$$x\log 3 = \log (3 - x)$$

$$\log 3 = \frac{\log (3 - x)}{x}$$

Y aquí es donde me atasco. Cualquier ayuda será muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Puede considerar la función dada por $$ f(x)=3^x-(3-x),\quad x \in \mathbb{R}. $$ Tenemos $$ f'(x)=3^x \cdot\ln3+1>0,\quad x \in \mathbb{R}, $$ Así, la función es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$ .

Tenemos $$ \begin{align} f(0)&=1-(3-0)=-2<0\\\\ f(1)&=3-(3-1)=1>0 \end{align} $$ entonces el solución única $x_0$ es tal que $x_0 \in (0,1)$ .

Puede observar que $$ 3^x=3-x $$ equivale a $$ (3-x)\ln 3 \times e^{(3-x)\ln 3}=3^3 \ln 3 $$ entonces, utilizando una solución de $Xe^X=3^3 \ln 3$ en términos de Función de Lambert obtenemos

$$ x_0=3-\frac{W(27\ln 3)}{\ln 3}=\color{red}{0.741551813...} $$

Answer 2

Desgraciadamente, encontrar la solución explícitamente no es posible en términos de funciones elementales. Tendrás que utilizar la función W de Lambert.

Tienes varios métodos para hacerlo, uno de ellos es simplemente dibujar las gráficas y mostrar que sólo se cruzan una vez como se hace a continuación:

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Un enfoque más riguroso sería demostrar que $f(x) = 3^x + x - 3$ es una función estrictamente creciente y demostrar que alcanza tanto valores negativos como positivos.

Así que $f'(x) = \ln 3\cdot 3^{x} + 1> 0$ para todos los reales $x$ por lo que la función es estrictamente creciente. En segundo lugar, tenemos que $f(0) = \text{negative}$ y $f(5) = \text{positive}$ por lo que cruza el $x$ -eje exactamente una vez y por lo tanto tiene una sola raíz.

Answer 3

Versión editada

Después de $x \cdot \log 3 = \log (3 – x)$ es $x = \frac {\log (3 – x)}{\log 3} $

lo que equivale a $y = x$ y $y = \frac {\log (3 – x)}{\log 3} $

Al trazar las DOS curvas anteriores en el mismo gráfico, verás que se cruzan en un solo punto (es decir, una solución).

Obsérvese también que:- Cuando x > 3, la "y" del $y = x$ es mucho mayor que la "y" de $y = \frac {\log |3 – x|}{log 3}$ . Eso significa que nunca se encontrarán cuando $x > 3$ .