no$\sigma$-finito traducción invariante medidas en $\mathbb{R}$

Question

Se sabe que el $\sigma$-finito traducción medidas invariantes $\mu$ $(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$ son exactamente las medidas de $ \mu = c \cdot \lambda$ donde $c \in [0,\infty)$ $\lambda$ es la medida de Lebesgue. (Una aplicación del teorema de Fubini da que cualquiera de los candidatos a $\mu$ es absolutamente continua con respecto a $\lambda$ y, a continuación, no es difícil comprobar que el Radon-Nikodym derivado es un.s. constante)

Estoy interesado en el caso de que no asumimos $\mu$ $\sigma$- finito. Es claro que si $\mu$ tiene átomos, entonces es un escalar múltiples de la cuenta de la medida. Esto deja el caso en que $\mu$ es atomless. Tales medidas, que ciertamente existe, por ejemplo, considerar la posibilidad de $\mu$ definido por \begin{align*} \mu(A) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } A \mbox{ is countable } \\ \infty & \mbox{otherwise} \end{casos} \end{align*} o $\mu = \infty \cdot \lambda$ con la convención de las $\infty \cdot 0 = 0$. Existe una clasificación de niza de la no-$\sigma$-finito traducción invariante medidas en $(\mathbb{R},B(\mathbb{R}))$? Si no podemos encontrar fácilmente muchos más ejemplos de los tres me dan de arriba?

Answer 1

No es exactamente una respuesta, pero aquí es un ejemplo divertido. Definir $B$ a ser el conjunto de los reales de a $x$ tal la parte fraccionaria de $x$ puede ser escrito en base a $100$ utilizando sólo la base-$100$ dígitos $0,$ $1,$ $2$ y $10.$ tenga en cuenta que $B$ es un conjunto de Borel. Definir $$\mu_B(S)=\begin{cases}0&\text{ if $S$ can be covered by countably many translates of $B$,}\\ \infty&\text{lo contrario.}\end{casos}$$ es decir, $\mu_B(S)=0$ si y sólo si $S$ está contenida en un sumset $X+B=\{x+b\mid x\in X\text{ and }b\in B\}$ para algunos contables set $X$. Este es countably aditivo en el conjunto de la $\mathcal P(\mathbb R),$ pero $\mu_B$ satisface:

• $\mu_B(B)=0$
• $\mu_B(-B)=\infty$ donde $-B$ $\{-b\mid b\in B\}$
• $\mu_B(\tfrac 1 2B)=\infty$ donde $\tfrac 1 2B$ $\{\tfrac 1 2 b\mid b\in B\}$

Así que la traducción de la invariancia es bastante débil de la propiedad para los no$\sigma$-finito medidas; ni siquiera la garantía de $\mu(S)=\mu(-S)$$\mu(2S)\geq \mu(S)$.

La prueba de $\mu_B(-B)=\infty$

Esta será una de diagonalización/categoría de Baire argumento; cada conjunto $B\cap(r-B)$ es denso en ninguna parte en $B$, con el subconjunto de la topología de $\mathbb R$. Definir $B_0$ $$B_0=([0,3)\cup [10,11))+100\mathbb Z$$ de modo que $B=\bigcap_{n\geq 1}100^{-n}B_0$. Para cualquier real $r$, la $r-B_0$ tiene intersección vacía con al menos uno de los conjuntos $[0,1),$ $[2,3),$ y $[10,11)$. Para ver esto basta para comprobar que:

• si $r-B_0$ intersecta $[0,1)$ $r$ debe estar en $([0,4)\cup [10,12))+100\mathbb Z$;
• si $r-B_0$ intersecta $[2,3)$ $r$ debe estar en $([2,6)\cup [12,14))+100\mathbb Z$;
• si $r-B_0$ intersecta $[10,11)$ $r$ debe estar en $([10,14)\cup [20,22))+100\mathbb Z$;

y estas condiciones no pueden ser satisfechos simultáneamente.

Escala por $100^{-(N+1)}$ (donde $N\geq 1$) esto muestra que, dado cualquier real $r$ y un intervalo de $[a100^{-N},b100^{-N})\subseteq \bigcap_{n=1}^{N} 100^{-n}B_0$ ( $a,b\in\mathbb Z$ ) podemos "agregar un dígito" y encontrar un subinterval $[a'100^{-N-1},b'100^{-N-1})\subset [a100^{-N},b100^{-N}) \cap \bigcap_{n=1}^{N+1} 100^{-n}B_0$ ( $a',b'\in\mathbb Z$ ) que tiene intersección vacía con $r-B$. Esto significa que $B\cap (r-B)$ es denso en ninguna parte en $B$.

Para aplicar esto a $\mu_B(-B)$, supongamos por contradicción que $-B\subseteq X+B$ $X$ contables. A continuación,$B\subseteq -X-B$, contradiciendo el hecho de que $B\cap(-x-B)$ es denso en ninguna parte en $B$ por cada $x$.

La prueba de $\mu_B(\tfrac 1 2 B)=\infty$

Similar a la anterior, pero ahora tenemos que comprobar que:

• si $r+2B_0$ intersecta $[0,1)$ $r$ debe estar en $((-6,1)\cup (-22,-19))+100\mathbb Z$;
• si $r+2B_0$ intersecta $[10,11)$ $r$ debe estar en $((4,11)\cup (-12,-9))+100\mathbb Z$;

y estas condiciones no pueden ser satisfechos simultáneamente.