Convergencia de $L^p$ à $L^\infty$

Question

Si $f$ es una función tal que $f \in L^\infty \cap L^ {p_0}$ donde $L^\infty$ es el espacio de las funciones esencialmente acotadas y $ 0 < p_0 < \infty$ . Demostrar que $ || f|| _{L^p} \to ||f || _{L^\infty} $ como $ p \to \infty$ . Donde $|| f||_{L^\infty} $ es el menos $M \in R$ tal que $|f(x)| \le M$ para casi todos los $x \in X$ .

La pista dice que hay que usar el teorema de convergencia monótona, pero no puedo ver ninguna convergencia puntual de las funciones. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista: Dejemos que $M\lt\|f\|_{L^\infty}$ y considerar $$ \int_{E_M}\left|\frac{f(x)}{M}\right|^p\,\mathrm{d}x $$ donde $E_M=\{x:|f(x)|\gt M\}$ . Creo que el Teorema de Convergencia Monótona funciona aquí.

Una pista más: $M\lt\|f\|_{L^\infty}$ implica $E_M$ tiene una medida positiva. En $E_M$ , $\left|\frac{f(x)}{M}\right|^p$ tiende a $\infty$ en el sentido de la palabra. MCT dice que para algunos $p$ la integral anterior supera $1$ .