Un espacio vectorial dentro de un espacio métrico dentro de un espacio vectorial

Question

Deje que $V$ ser un espacio vectorial sobre $ \mathbb {R}$ .

Deje que $M \subset V$ (como un conjunto), y dejar $d:M \times M \rightarrow \mathbb {R}$ ser tal que $(M,d)$ es un completo espacio métrico.

Deje que $W$ ser un subespacio vectorial de $V$ y asumir que $W \subset M$ . Además, que $|| \cdot ||: W \rightarrow \mathbb {R}$ ser una norma en $W$ y asumir que coincide con $d$ es decir, para cualquier $u,v \in W$ Tenemos $d(u,v) = ||u-v||$ .

Así que tenemos un espacio vectorial normalizado $W$ residiendo en un espacio métrico completo $M$ contenida en un espacio vectorial $V$ .

Deje que $ \overline {W}$ denotan el cierre de $W$ en $M$ . Mi pregunta es la siguiente: es $ \overline {W}$ cerrado bajo adición (donde la adición tiene lugar en $V$ )?

Mi proceso de pensamiento es que cualquier elemento $x$ de $ \overline {W}$ puede describirse como el límite de una secuencia caucásica $(x_n)_n$ de elementos en $W$ . Entonces si tenemos $x,y \in \overline {W}$ y $(x_n)_n, (y_n)_n \subset W$ con $x_n \rightarrow x$ y $y_n \rightarrow y$ entonces la secuencia $(x_n + y_n)_n$ es Cauchy. Por completo de $M$ converge en algún elemento $s$ . Sin embargo, no sé cómo mostrar $s = x+y$ o si esto es incluso cierto.

Sospecho, de hecho, que el resultado no es cierto. Si es así, me gustaría ver un contra-ejemplo, y posiblemente restricciones adicionales que podrían hacerlo cierto.

Como ejemplo, consideremos $V$ para ser el espacio vectorial de las funciones $\{f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}\}$ , $M = L^1( \mathbb {R})$ con la métrica inducida por la norma, y $W$ ser el conjunto de funciones de paso con apoyo finito, con el $L^1$ norma.

Answer 1

Las suposiciones no parecen requerir ninguna relación entre la métrica en $M \setminus W$ con la estructura espacial vectorial en $V$ así que parece que podemos fabricar un contra-ejemplo por fuerza bruta:

Deje que $W$ ser tu espacio vectorial normalizado no completo favorito como, para concretar, el espacio de secuencias reales con soporte finito bajo la norma sup.

Deje que $M$ sea la terminación métrica de $W$ .

Deje que $V$ ser la suma directa de $W$ y el espacio de combinaciones lineales formales finitas de elementos de $M \setminus W$ . ( $M$ se incrusta en esto de manera obvia...)

Entonces, obviamente, $ \overline W=M$ pero $M$ no está cerrado por adición.

Answer 2

Deje que $W$ ser un subespacio de un espacio de Banach $M$ de tal manera que $W$ no está cerrado en $M$ y dejar la métrica en $M$ ser el inducido por su norma. Concretamente, tome por ejemplo. $W$ para ser el espacio de los polinomios en $ \mathbb {R}$ y $M$ para ser el espacio de funciones continuas con el $ \sup $ -norma.

En particular $M$ es un espacio métrico completo y la restricción de la métrica a $W$ coincide con la norma sobre $W$ .

Mi idea es ampliar $M$ y cambiar la estructura aditiva en $M \setminus W$ de una manera que es adecuadamente incompatible con la adición original allí.

Deje que $F$ ser el espacio vectorial libre sobre el conjunto $M \setminus W$ . Ahora deja $V = F \oplus W$ ser la suma directa del espacio vectorial de $F$ y $W$ . Hago la identificación obvia de $W$ con $ \tilde {W} = \{0\} \oplus W$ como un espacio vectorial y de $M$ con $ \tilde {M} = [(M \setminus W) \oplus \{0\}] \cup [\{0\} \oplus W]$ como un espacio métrico.

Noten que la estructura espacial vectorial inducida en $ \tilde {W}$ por $V$ es la misma que su estructura original. A partir de aquí, todas las operaciones topológicas tienen lugar en la topología inducida por la métrica en $ \tilde {M}$ y las operaciones espaciales de vectores tienen lugar en $V$ .

Finalmente, toma $x_n, y_n \in W$ de tal manera que $x_n \to x \in M \setminus W$ , $y_n \to y \in M \setminus W$ . Traduciendo todo esto en $V$ tenemos $(0, x_n) \to (x,0) \in (M \setminus W) \oplus \{0\}$ y $(0,y_n) \to (y,0) \in (M \setminus W) \oplus \{0\}$ .

Sin embargo $(x,0) + (y,0) = (x+y,0) \not \in \tilde {M}$ ya que la adición tiene lugar en el espacio vectorial libre sobre $M \setminus W$ para que $x+y \not \in M \setminus W$ . Obviamente, $ \overline {\{0\} \oplus W} \subset \tilde {M}$ y $(x,0), (y,0) \in \overline {\{0\} \oplus W}$ así que vemos que el cierre no está cerrado por adición en $V$ .