Es la Aritmética de Peano de primer axiomatization de la aritmética a ser descubierto?
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sewo
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No, según el artículo de Wikipedia, axiomatizations de la aritmética fueron propuestas por Peirce y Dedekind en los años que precedieron a la de Peano de la publicación de su versión en 1889.
Aún así, lo que Peano publicado en 1889 no era exactamente lo que nosotros llamamos "la Aritmética de Peano" el día de hoy. El 1889 axiomas fueron, en terminología actual, una de segundo orden del sistema, donde el axioma de inducción, habló acerca de "todos los conjuntos de números naturales", en lugar de todas las propiedades que puede ser descrita por la lógica de las fórmulas.
Desde los axiomas de Peano se presupone que algún tipo de teoría de conjuntos que ya estaba disponible, además, no contienen axiomas específicos para la adición y la multiplicación -- en lugar de esto, se supone que el uso conjunto teórico de razonamiento para ver que las únicas funciones que cumplir con la recursividad de las ecuaciones para la adición y la multiplicación debe existir.
Exactamente cuando el primer orden de la Aritmética de Peano ahora sabemos y el amor fue formulado por primera vez de forma explícita no está claro en la fuente que se puede encontrar fácilmente, pero es probable que sólo somewhen en la década de 1900, después de Programa de Hilbert había llevado a una creciente toma de conciencia de distinguir entre las de primer orden y de orden superior teorías. Pero fue a más tardar en el año 1936, cuando Gentzen publicó una prueba de su consistencia (bajo el supuesto de que $\varepsilon_0$ es bien ordenado).
Mientras tanto, el tipo de teoría de Whitehead y Russell Principia Mathematica había introducido de una manera diferente, de forma explícita de orden superior, intento en una axiomática de la fundación para la aritmética. Este parece haber sido considerado el "estándar de oro" para fundacional intentos en las primeras décadas del siglo 20, y fue lo que Gödel originalmente formulado su teorema de la incompletitud.
(Por supuesto, si usted mover los postes de la meta de lo que consideran un "axiomatization de la aritmética" deliberadamente suficiente, es probable que sea posible encontrar un significado para el que PA es la primera. Pero lo que realmente le dirá más acerca de su postes que sobre PA o aritmética).
zyx
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Dedekind había una contemporánea y un poco antes-publicado ensayo sobre "¿cuáles son los números" en la que dio la definición categórica, antes de categorías que existían. Su definición de un número natural objeto es un conjunto de $N$ con un auto-similitud de transformación (un inyectiva endomorfismo) que satisface las propiedades que hacen que la transformación se corresponden con el sucesor de operación $+1$.
Parece que Peano estaba trabajando en términos más cerca de la moderna lógica formal y Dedekind a pensar más en términos de estructuras algebraicas (como la realización de los racionales mediante su orden de relación, para construir los números reales).
