¿Por qué la división de álgebras de tener siempre un número de dimensiones, que es un poder de $2$?

Question

¿Por qué el número de sistemas siempre tienen un número de dimensiones, que es un poder de $2$?

• Números reales: $2^0 = 1$ dimensión.
• Números complejos: $2^1 = 2$ dimensiones.
• Cuaterniones: $2^2 = 4$ dimensiones.
• Octonions: $2^3 = 8$ dimensiones.
• Sedenions: $2^4 = 16$ dimensiones.

Answer 1

No. Aquí está una de las 9 dimensiones asociativa no-conmutativa de la división de álgebra ($\Bbb{Q}$): $$ D=\left\{\left(\begin{array}{ccc} x_1&\sigma(x_2)&\sigma^2(x_3)\\ 2x_3&\sigma(x_1)&\sigma^2(x_2)\\ 2x_2&2\sigma(x_3)&\sigma^2(x_1) \end{array}\right)\bigg\vert\ x_1,x_2,x_3\E\ \ derecho\}, $$ donde $E=\Bbb{Q}(\cos2\pi/7)$ $\sigma$ es el automorphism definido por $\sigma(\cos2\pi/7)=\cos4\pi/7$.

Sólo a través de los reales somos tan limitados. Topología hace una gran diferencia.

Answer 2

El particular de la familia de álgebras de que está hablando tiene dimensión más de $\Bbb R$ un poder de $2$ de la construcción: la de Cayley-Dickson construcción para ser precisos.