Las redes y la Convergencia: ¿por Qué dirigida índices?

Question

Por favor lea cuidadosamente (sé Redes con Topología de los Filtros y sus interrelaciones!!!)

1.) ¿Por qué se requiere de redes para ser indexados por los dirigidos conjuntos (aparte de que funciona simplemente en comparación con los filtros y topología). Hay una razón por la w.r.t. a la noción de convergencia?

Hasta el momento no son los consejos:

• La noción de una buena Dirección
  
• La singularidad de Límite

2.) Por otra parte, ¿por qué tiene sentido decir que la siguiente red converge aunque crece arbitrariamente grandes en un lado: $$\Lambda:=\{1,2\}\times\mathbb{N}:(i,n)\leq(i',n') :\Leftrightarrow i\leq i',n\leq n'\\ x_{(1,n)} :=n, x_{(2,n)} :=0$$ Gracias de antemano. Saludos, Alex

Answer 1

Redes surge a partir de la obra de Moore y Smith entender integrales, es decir, las integrales son el gran ejemplo de redes. Para la localización, imagínese usted desea calcular

$$\int_a^bf(x)\,dx$$

para una suficiente buena función $f$. Ahora, consideramos que todos los pares de $(\{X_i\}_{i<n},\{\xi_i\}_{i<n})$ donde $\{X_i\}_{i<n}$ es una partición del conjunto medible de $[a,b]$, es decir, una familia de conjuntos tales que $$\bigcup_{i<n}X_i=[a,b]$$ y tal que para cada una de las $i$, podemos calcular la longitud de $X_i$, $l(X_i)$ y donde $\{\xi_i\}_{i<n}$ una familia de puntos tales que para todos los $i$, $\xi_i\in X_i$; y para cada uno de estos pares $\mathcal{X}=(\{X_i\}_{i<n},\{\xi_i\}_{i<n})$ consideramos la suma $$I(f,\mathcal{X})=\sum_{i<n} f(\xi_i)l(X_i)$$ que es una aproximación de la integral. El problema es que necesitamos ahora una manera de entender cómo estas sumas convergen a el deseo integral y esto sólo puede hacerse a través dirigida conjuntos y redes. De esta manera dirigida conjuntos de surgir de manera natural como la única manera posible a fin de que dichas particiones.

En este caso particular, el orden habitual es que $$\mathcal{X}=(\{X_i\}_{i<n},\{\xi_i\}_{i<n})\geq \mathcal{X'}=(\{X_i'\}_{i<n'},\{\xi_i'\}_{i<n'})$$ cada vez para todos los $i<n$ hay algo de $j_i<n'$ tal que $X_i\subseteq X_{j_i}'$, es decir, la primera partición es un refinamiento de la segunda. Y aquí la costumbre axiomas de conjuntos se traducen de la siguiente manera:

1. Cada partición es un refinamiento de la misma.
2. Si $\mathcal{X}$ es un refinamiento de la $\mathcal{X}'$ $\mathcal{X}'$ un refinamiento de la $\mathcal{X}''$, $\mathcal{X}$ es un refinamiento de la $\mathcal{X}''$.
3. Dados cualesquiera dos particiones $\mathcal{X}$$\mathcal{Y}$, siempre hay una partición de $\mathcal{Z}_{\mathcal{X},\mathcal{Y}}$ que afina tanto $\mathcal{X}$$\mathcal{Y}$.

Si no lo ha hecho, tome el dfinition de red y compruebe que $\{I(f,\mathcal{X})\}_\mathcal{X}$ converge de manera efectiva a la integral de la $f$.

En este sentido, podemos hablar de que el parcial anterior sumas convergen a la integral que queremos calcular porque hay un sentido acerca de lo que significa todas las particiones que refina el que usted tome. Además, si tomamos cualquier partición, podemos refinar a ser un refinamiento de una determinada, lo que significa que sabemos lo que significa que no te pierdas ninguna

Así que, ¿por qué necesitamos dirigido? Porque necesitamos tener un sentido de dirección para avanzar, así como en el caso de las particiones, tenemos que tener claro los conceptos de lo que significa avanzar y esto no es sólo posible con la tercera axiomas. Si se omite, entonces no está claro que la convergencia tiene el significado de la red se aproxima al punto que pasaría si no fuera posible para cada par de particiones para crear una partición que refina tanto de ellos. Esta es la esencia de la dirección, que da el sentido de que la red de avanzar hacia su límite de puntos.

Por su ejemplo, aunque $$\lim_{n\to\infty} x_{(1,n)}=\infty\text{,}$$ tiene sentido decir que la red converge, porque cuando usted está avanzando con uno fijo, incluso si "llegado" a $(1,\infty)$, usted tiene que no avance lo suficiente, porque hay puntos mucho más allá de avanzar. Esto significa que mediante la fijación de una, no avanza todo lo que puede a la dirección dada porque hay pintas que usted nunca va a pasar más allá en este camino.

Nota: Si cualquier pregunta, por favor dime.

Answer 2

Para definir una noción de convergencia de una red $Φ$ necesita algún tipo de orden en la indización de conjunto, y que al menos debe ser reflexiva y transitiva. Usted puede pensar de una red, como muchas "líneas" $ α ≤ α_1 ≤α_2\le...$$β ≤ β_1 ≤ β_2 ≤ ... $. La tercera condición se asegura de que cada dos líneas de alcanzar eventualmente. Si una red se define simplemente como una función de un conjunto arbitrario $S$, entonces esto $S$ sería irrelevante debido a la ausencia de estructura y podíamos mirar su imagen $Φ(S)$. Un límite de $Φ$ podría, a continuación, en el mejor de los definirse como un punto de $x$ donde infinitamente muchos puntos de $Φ(S)$ están reuniendo. Sin embargo, esto podría no ser diferente de la $x$ ser un punto límite de la set $Φ(S)$ en el espacio de $X$. En otras palabras, no habría diferencia entre un netos en $X$ y un simple subconjunto de $X$.

Otra razón por la que dirigió establece es que tenemos una especie de equivalencia entre las redes y filtros. Supongamos $\Phi$ es una red en la orientación del conjunto de $I$. Usted puede obtener un filtro Filtro "$(Φ)$" por tomar las colas $T_j=\{Φ_i\mid i\ge j\}$ como base del filtro. La condición de que la intersección de a $T_j$ $T_k$ contiene otro $T_l$ viene sólo de la propiedad de que para cualquier $j,k$ hay otro $l\ge k,j$.
Por otro lado, si usted tiene un filtro de $\cal F$, a continuación, definir el conjunto dirigido $$I_\cal F=(\{(x,F)\mid x\in F\in\mathcal F\},\ (x,F)\le (y,G)\iff G\subseteq F)$$ y vamos Neto$(\cal F)_{(x,F)}=x$. Tenga en cuenta que las colas de Net$(\cal F)$ son precisamente las $F\in\cal F$. Esto implica que $\text{Filter(Net($\cal F$))}=\cal F$. Con un razonable noción de "subred" podemos demostrar que $\text{Net(Filter($F$))}$ $Φ$ son subredes de cada uno de los otros. Esto significa que va desde una red a un filtro y la parte trasera (o de un filtro de red y de vuelta) los rendimientos del objeto original.

Answer 3

1) Para la convergencia obviamente, se necesita un sentido de dirección. Las secuencias de dar un simple de dirección (hacia la $\infty$) pero resulta que esto no es suficiente para lidiar con diferentes espacios topológicos. Así que la gente generalizada de secuencias de redes mediante el uso arbitrario dirigida conjuntos. No había ninguna razón a priori para que esto iba a funcionar para arbitrario de espacios, pero resulta que no funciona. Los filtros son igual de buenas y son equivalentes a las redes.

2) La subred $y$, dado por la restricción a la fila superior, es cofinal en $x$ y obviamente converge a $0$, lo $x \to 0$. De manera informal, la neta, finalmente, sube. Más formalmente, para cada $(a,n) \in x$, $(b, m) \in y$ tal que $(b, m) \geq (a,n)$. Simplemente tome $(b, m) := (2, n)$. Si usted revertir las flechas verticales, el resultado neto sería ir a la parte inferior y no convergen.

Answer 4

La recopilación de todo lo que, finalmente, tenemos:

• La noción de "Dirección": Normal Orden de Relación
• La noción de "al final Todos": Transitiva Orden
• La noción de "Ser Ampliable": Dirigida Orden

En detalle, esto significa que:

• Primero de todo, debemos ser capaces de hablar de una dirección que da lugar a la noción de convergencia y por lo tanto distingue a las secuencias de sobrio subconjuntos. Es decir, para todos los $U_x$ hay algo de $\Lambda_0$ s.t. para todos los $\lambda\geq \Lambda_0$ tiene $x_\lambda \in U_x$.
• A continuación, nos gustaría estar seguros de que cada vez sth. finalmente, sostiene que no abandonan nunca más, así que podemos decir que sólo estamos acercando más y más. Es decir, si $\lambda_0\geq \Lambda_0$ a continuación, para cada sucesor $\lambda\geq \lambda_0$ que posee como bien $\lambda\geq \Lambda_0$.
• Último, queremos ser capaces de expandir todo lo que tiene así. Es decir, para cada $\lambda$ hay algo de $\lambda_0\geq\lambda$ s.t. como bien $\lambda_0\geq\Lambda_0$.

Answer 5

Para las Redes tenemos la equivalencia:
Los límites son únicas! $\Leftrightarrow$ El Espacio Hausdorff!

Si hemos de permitir que el índice de conjuntos que se ordenó por un orden parcial (o preorder o incluso por una simple relación) esta equivalencia no más, lo que hace que la convergencia inverosímil: Una "secuencia" podría convergen hacia dos puntos separados - ser, finalmente, en dos separados "regiones" de forma simultánea.