Módulo Tate del producto de variedades abelianas

Question

¿Hay alguna manera de relacionar el módulo Tate $T_{l}(A \times B)$ del producto de dos variedades abelianas $A$ y $B$ sobre un campo $k$ (donde $l \neq \text{char}(k)$ ), a los módulos Tate $T_{l}(A)$ y $T_{l}(B)$ ?

Lo único que tengo hasta ahora es que el rango de $T_{l}(A \times B)$ como $\mathbb{Z}_{l}$ -es igual a la suma de los rangos de los módulos Tate de $A$ y $B$ como $\mathbb{Z}_{l}$ -módulos.

Answer 1

El módulo Tate de un producto $A\times B$ de variedades abelianas sobre $k$ es naturalmente isomorfo, como $G_k$ -módulo, a $T_\ell A\times T_\ell B$ . Esto se deduce directamente de la propiedad universal de un producto directo: $$ (A\times B)(k^\text{sep}) \simeq A(k^\text{sep})\times B(k^\text{sep}) \text{.} $$

Answer 2

En general, si $X$ y $Y$ son subvariedades abelianas de una variedad abeliana $A$ tal que $X\cap Y$ es finito y $A=X+Y$ entonces $T_\ell A\simeq T_\ell(X)\times T_\ell(Y)$ para cualquier primo $\ell$ tal que $A[\ell]\cap X\cap Y=\varnothing$ . Esto se debe a que $A[\ell^r]\simeq X[\ell^r]\times Y[\ell^r]$ para todos $r$ en este caso, y los límites inversos conmutan con las sumas directas.