(1) y (3) son equivalentes (esto también se aplica en las dimensiones superiores).
Supongamos que (1) se mantiene. Cada plano tangente divide el espacio en dos medias espacios, uno de los cuales contiene $\Sigma$. Tomar la intersección de todos los halfspaces: es un conjunto convexo que contiene a $\Sigma$ y en su interior. Demostrar que es igual a la unión de $\Sigma$ y en su interior. Para demostrar que $\Sigma $ es homeomórficos a $S^2$, el uso de radial proyección de un punto interior.
Supongamos que (3) se mantiene. Convexidad implica que para cada una de las $p$ hay un apoyo plano: un plano que pasa a través de $p$ y tiene el conjunto a un lado. Muestran que este plano es el plano tangente a $p$.
(2) implica a las otras propiedades (en 3 dimensiones), pero esto no es trivial. Las palabras clave son Hadamard del teorema de ovaloid
(1)-(3) no implica (2); contraejemplos se encuentran en los comentarios.
(1)-(3) implican $K\ge 0$. En efecto, supongamos $K<0$ en algún punto de $p$. Elegir un sistema de coordenadas de modo que $p$ es el origen y el plano tangente en $p$ $xy$- plano. A continuación, la superficie de la $\Sigma$ a nivel local es la gráfica de una función de $z=f(x,y)$ con un punto de silla, porque el de Hesse determinante de $f$ es negativo (ver aquí). Esto contradice (1).
