Si $U\nsubseteq W$, $\text{Ann}(W)\nsubseteq\text{Ann}(U)$

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial. Deje $U,W$ ser sub espacios de $V$. Si $U\nsubseteq W$,$\text{Ann}(W)\nsubseteq\text{Ann}(U)$. ($\text{Ann}$ es Aniquiladores - por wiki)

Mi pequeño intento:

Supongamos que,

$$\{u_1,...,u_n\}$$

Es la base para la $U$, y $$\{w_1,...,w_n\}$$

Es la base para la $W$.

$U\nsubseteq W$, entonces existen vectores $u\in U$, que no es en $W$, en otras palabras:

$$u\in U\setminus W$$

y $\{u,w_1,...,w_n\}$ es lineal independiente.

Podemos extender $\{u,w_1,...,w_n\}$ $\{s_1,...,s_p \}$donde la última es la base para la $U\setminus W$,$p>n$.

Y ahora qué?

Answer 1

Creo que estás en el camino correcto. Tome $u$$U$, no en $W$; tome $\{{\,w_1,\dots,w_n\,\}}$ base para $W$; $\{{\,u,w_1,\dots,w_n\,\}}$ es linealmente independiente; extender a una base $B=\{{\,u,w_1,\dots,w_n,v_1,\dots,v_m\,\}}$$V$; definir un funcional lineal $L$ $V$ por $L(u)=1$, $L(w_i)=0$ para todos $i$, $L(v_i)$ arbitrario. A continuación, $L$ aniquila $W$ pero no $U$.

Answer 2

Existe $u \notin W$, que se extienden a una base y tome $u^*$: este mata a $W$ pero no $U$.