Cómo demostrar que ${(\ln n)}^{\ln n}=n^{\ln(\ln n)}$

Question

Cómo demostrar que $${(\ln n)}^{\ln n}=n^{\ln(\ln n)}$$

Intento:

$y={(\ln n)}^{\ln n}$ entonces $\ln y=\ln n\ln(\ln n)$ ¿qué hacer a continuación?

Answer 1

CONSEJO

Tenemos

$${(\ln n)}^{\ln n}=e^{\ln n\cdot \ln (\ln n)}=(e^{\ln n})^{\ln (\ln n)}$$

y recordemos que por definición $e^{\ln n}=n$ .

Answer 2

Sugerencia : Tome el registro en ambos lados

$${(\ln n)}^{\ln n}=n^{\ln(\ln n)}$$ T $$ \ln\left({(\ln n)}^{\ln n}\right) =\ln\left(n^{\ln(\ln n)}\right)$$ $$ \ln({n})( \ln(\ln(n))= {\ln(\ln n)} \ln(n)$$

Answer 3

Alternativamente: $${(\color{red}{\ln n})}^{\color{blue}{\ln n}}=(\color{red}{e^{\ln (\ln n)}})^{\color{blue}{\ln n}}=(e^{\color{blue}{\ln n}})^{\color{red}{\ln (\ln n)}}=n^{\ln(\ln n)}$$