rompecabezas sobre la matriz de números

Question

Considerar un conjunto de números
$$ \color{#C00000}{1}\ \hphantom{7\ 6\ 5\ 4\ 7\ 3\ 5\ 7\ 2\ 7\ 5\ 3\ 7\ 4\ 5\ 6\ 7\ }\color{#C00000}{1}\\ 1\ \hphantom{7\ 6\ 5\ 4\ 7\ 3\ 5\ 7\ }\color{#C00000}{2}\ \hphantom{7\ 5\ 3\ 7\ 4\ 5\ 6\ 7\ }1\\ 1\ \hphantom{7\ 6\ 5\ 4\ 7\ }\color{#C00000}{3}\ \hphantom{5\ 7\ }2\ \hphantom{7\ 5\ }\color{#C00000}{3}\ \hphantom{7\ 4\ 5\ 6\ 7\ }1\\ 1\ \hphantom{7\ 6\ 5\ }\color{#C00000}{4}\ \hphantom{7\ }3\ \hphantom{5\ 7\ }2\ \hphantom{7\ 5\ }3\ \hphantom{7\ }\color{#C00000}{4}\ \hphantom{5\ 6\ 7\ }1\\ 1\ \hphantom{7\ 6\ }\color{#C00000}{5}\ 4\ \hphantom{7\ }3\ \color{#C00000}{5}\ \hphantom{7\ }2\ \hphantom{7\ }\color{#C00000}{5}\ 3\ \hphantom{7\ }4\ \color{#C00000}{5}\ \hphantom{6\ 7\ }1\\ 1\ \hphantom{7\ }\color{#C00000}{6}\ 5\ 4\ \hphantom{7\ }3\ 5\ \hphantom{7\ }2\ \hphantom{7\ }5\ 3\ \hphantom{7\ }4\ 5\ \color{#C00000}{6}\ \hphantom{7\ }1\\ 1\ \color{#C00000}{7}\ 6\ 5\ 4\ \color{#C00000}{7}\ 3\ 5\ \color{#C00000}{7}\ 2\ \color{#C00000}{7}\ 5\ 3\ \color{#C00000}{7}\ 4\ 5\ 6\ \color{#C00000}{7}\ 1\\ $$ El patrón: a partir del 1 de 1 de cada consecutivos número natural n se inserta entre dos números al lado de cada uno de los otros, cuya suma es igual a n (entre 2 1 1, 3 entre 1 a 2, 4 entre 1 a 3, etc )
Usted puede ver este patrón se muestra más arriba.
Mi pregunta es: ¿qué es una(n) - el número de veces que tendremos que escribir n en la n-ésima fila ?

Mi intento: tratando de encontrar la fórmula recursiva entre una(n) y(n+1), pero esto parece difícil.

Answer 1

Su primera secuencia de números que consiste en los denominadores de las muy bien estudiada secuencia de Farey.

Para $n\ge 2$ hemos : "el número de elementos de a $F_n$ tener denominador $n$ es igual a $\phi(n)$" : la phi de Euler de la función.

Una fascinante introducción a Farey secuencias con el enlace a Ford círculos se pueden encontrar en la Hamburguesa del excelente libro "Explorando el número de la selva'.

Answer 2

Esto era demasiado largo para un comentario así...

Teorema 2.8 : si $\frac pq\lt\frac rs$ son dos días consecutivos de fracciones de $F_n\ $ $ps-rq=-1$

Vamos a utilizar la pista proporcionada en el libro : "Demostrar este teorema por inducción en $N$. Supongamos que la instrucción tiene por $N=n$ y considerar un número racional $a/b \in [0,1]$$b\gt n$. Mostrar que $a/b$ debe residir entre dos elementos consecutivos de $F_n$. ¿Cuál es la menor $b$, posiblemente, podría ser?"

En este punto usted debe admitir que $\frac pq\lt\frac ab\lt\frac rs$ $\frac pq$ $\frac rs$ consecutivos fracciones de $ F_n$, de modo que, desde Lema 2.6, $a=\lambda p+\mu r$ $b=\lambda q+\mu s$ $\lambda$ $\mu$ enteros positivos (cero tendríamos $\frac pq=\frac ab$ o $\frac ab=\frac rs$!). En conclusión, el menor valor posible de $b$$q+s$, además contamos $q+s\gt n\ $ debido a que los demás la fracción $\frac{p+r}{q+s}$ habría sido insertada anteriormente!
El único 'libre muelles' para $b=n+1$ son aquellos para los cuales $q+s=n+1$ (la suma de dos días consecutivos de denominadores de $F_n$ $n+1$ o más).
Espero que estas indicaciones te ayudarán a demostrar 2.8 así como 2.10.

Creo que el de Euler $\phi\ $ resultado es directo en Farey secuencias : cuando usted tiene que considerar un nuevo denominador $n\ $ (apareciendo en la $F_n\ $), a continuación, sólo tiene que insertar las fracciones $\frac an\ $ tal que $(a,n)=1\ $ (y eso es lo $\phi\ $ cuenta!) porque otra cosa de la fracción simplifica y apareció antes...